Gymnasiet

Ma3b/Ma3c

Tillämpning och problemlösning

Det här avsnittet samlar tillämpningar av geometrisk summa och linjär optimering inom ekonomi, produktion och transport. Fokus ligger på modellering, tolkning och kontroll av resultat.

På den här sidan

Bakgrund

Här tillämpar du geometriska summor och linjär optimering på verkliga problem inom ekonomi, fysik, produktion och transport. Det svåra är ofta inte räkningen utan att översätta texten till en modell och att kontrollera att svaret är rimligt.

Teori

1. Geometrisk summa eller exponentiell tillväxt?

Ett enda belopp som växer: $\displaystyle K_n=K_0\cdot k^n$ . Det är en term, ingen summa.
Många belopp som läggs ihop, till exempel årliga insättningar: $\displaystyle S_n=\dfrac{a(k^n-1)}{k-1}$ .
Oändligt många termer med $\displaystyle -1<k<1$ : $\displaystyle S=\dfrac{a}{1-k}$ .

2. Arbetsgång vid linjär optimering

Inför variabler och skriv vad de betyder.
Skriv målfunktionen.
Skriv alla villkor, även att variablerna inte får vara negativa.
Rita området och bestäm hörnpunkterna.
Beräkna målfunktionen i hörnen och svara i sammanhanget.

Kontroll

Sätt in svaret i alla villkor. Kontrollera också att det är praktiskt möjligt, till exempel att antal saker är heltal.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Studsande boll

Uppgift: En boll släpps från 5 m höjd och når efter varje studs 60 procent av den förra höjden. Hur lång sträcka färdas bollen totalt?

Exempel 2: Produktion med ett villkor

Uppgift: En verkstad tillverkar $\displaystyle x$ bord och $\displaystyle y$ stolar. Ett bord tar 4 timmar och en stol 5 timmar, och det finns 60 timmar. Vinsten är 200 kr per bord och 300 kr per stol. Hur ska verkstaden planera för störst vinst?

Exempel 3: Transport

Uppgift: Två lager har 200 respektive 300 enheter. Butik 1 behöver 250 enheter och butik 2 behöver 150. Kostnaden per enhet är 10 kr (lager 1 till butik 1), 15 kr (lager 1 till butik 2), 12 kr (lager 2 till butik 1) och 8 kr (lager 2 till butik 2). Hur ska varorna fördelas för lägsta kostnad?

Exempel 4: Investering

Uppgift: 10 000 kr placeras med 8 procents årlig avkastning. Hur stort är beloppet efter 5 år?

Interaktiva funktioner

Studsande boll

Välj starthöjd och hur stor andel av höjden bollen når efter varje studs.

Starthöjd: $\displaystyle h=5\ \text{m}$

Andel efter studs: $\displaystyle k=0{,}6$

s=5+\nobreak 2\cdot\nobreak \dfrac{3}{1-\nobreak 0{,}6}\approx\nobreak 20\ \text{m}

Höjden efter varje studs

Höjder

Lodrät axel: höjd (m)

012345670123456

Vågrät axel: studs nummer

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Investering

Ett belopp som växer med en fast procent per år.

Startbelopp: $\displaystyle K_0=10\,000\ \text{kr}$

Ränta: $\displaystyle p=8\ \%$

Antal år: $\displaystyle n=5$

K_{5}=\nobreak 10\,000\cdot\nobreak 1{,}08^{5}\approx\nobreak 14\,693\ \text{kr}

Vanliga misstag och strategier

Att blanda ihop aritmetisk och geometrisk summa.
Att använda formeln för oändlig summa när kvoten inte ligger mellan $\displaystyle -1$ och 1.
Att glömma att variablerna inte får vara negativa.
Att missa ett villkor när texten översätts.
Att inte kontrollera att svaret är rimligt.

Tips för problemlösning

Viktigt att tänka på

Linjära modeller är förenklingar av verkligheten.
Kontrollera om svaret måste vara heltal.
Pröva hur känslig lösningen är: små ändringar i vinsten kan byta bästa hörn.

Testa dig själv: Tillämpning och problemlösning1/3

Ett företag tjänar 40 kr på varje A och 30 kr på varje B. Vilken målfunktion beskriver vinsten?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i geometri för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här