Största och minsta värdet i ett område

Lösning

1. Steg 1. Skärningen mellan randlinjerna. Av $\displaystyle x+y=100$ följer $\displaystyle y=100-x$.

   $$2x+\nobreak 3(100-\nobreak x)=\nobreak 240\ \Leftrightarrow\ x=\nobreak 60,\ \allowbreak y=\nobreak 40$$

2. Steg 2. Hörnen är $\displaystyle (0;\ 0)$, $\displaystyle (100;\ 0)$, $\displaystyle (60;\ 40)$ och $\displaystyle (0;\ 80)$.

   $$f=\nobreak 0,\quad\allowbreak f=\nobreak 20\,000,\quad\allowbreak f=\nobreak 24\,000,\quad\allowbreak f=\nobreak 24\,000$$

3. Steg 3. Målfunktionen kan skrivas $\displaystyle f=100(2x+3y)$. Den är alltså parallell med kanten $\displaystyle 2x+3y=240$.

Svar: Minsta värdet är 0 i origo. Största värdet är 24 000, i $\displaystyle (60;\ 40)$, i $\displaystyle (0;\ 80)$ och längs hela kanten mellan dem.

Lösning

1. Steg 1. Villkoren är $\displaystyle x+y\ge10$, $\displaystyle x+3y\ge18$, $\displaystyle x\ge0$ och $\displaystyle y\ge0$. Området ligger ovanför linjerna och fortsätter utan gräns.

2. Steg 2. Skärningen mellan linjerna: subtrahera den första ekvationen från den andra.

   $$2y=\nobreak 8\ \Leftrightarrow\ y=\nobreak 4,\ \allowbreak x=\nobreak 6$$

3. Steg 3. Hörnen är $\displaystyle (0;\ 10)$, $\displaystyle (6;\ 4)$ och $\displaystyle (18;\ 0)$.

   $$C=\nobreak 30,\quad\allowbreak C=\nobreak 36,\quad\allowbreak C=\nobreak 72$$

Svar: Den minsta kostnaden är 30 kr, med 10 kg av typ 2 och ingen av typ 1. Något största värde finns inte, eftersom man kan köpa hur mycket foder som helst.

Lösning

1. Steg 1. Med tre variabler går det inte att rita i planet. Pröva punkter där båda villkoren gäller med likhet, till exempel $\displaystyle (40;\ 40;\ 20)$.

   $$40+\nobreak 40+\nobreak 20=\nobreak 100,\quad\allowbreak 40+\nobreak 80+\nobreak 60=\nobreak 180$$

2. Steg 2. Målfunktionen kan skrivas som en summa av villkoren: $\displaystyle 10x+15y+20z=5(x+y+z)+5(x+2y+3z)$. Den kan alltså aldrig bli större än $\displaystyle 5\cdot100+5\cdot180$.

   $$f\le\nobreak 500+\nobreak 900=\nobreak 1400$$

Svar: Det största värdet är 1 400, till exempel i $\displaystyle (40;\ 40;\ 20)$. Större problem löses med datorprogram och simplexmetoden.

Lösning

1. Steg 1. Chansen att inte vinna på en lott är 0,999. Chansen att inte vinna på någon av $\displaystyle n$ lotter är $\displaystyle 0{,}999^n$, en geometrisk talföljd.

   $$1-\nobreak 0{,}999^n>\nobreak 0{,}5\ \Leftrightarrow\ 0{,}999^n<\nobreak 0{,}5$$

2. Steg 2. Ta logaritmen. Eftersom $\displaystyle \ln0{,}999$ är negativt byter olikheten riktning.

   $$n>\dfrac{\ln0{,}5}{\ln0{,}999}\approx\nobreak 692{,}8$$

Svar: Det behövs minst 693 lotter.