Gymnasiet
Ma3b/Ma3c
4

Geometrisk summa och linjär optimering

Kapitel 4 knyter ihop två centrala verktyg: geometriska summor för tillväxt/minskning och linjär optimering för beslut under begränsningar. Här får du både teori, tillämpningar och interaktiva labb.

På den här sidan

Bakgrund

Kapitel 4 handlar om två verktyg. Geometriska summor används när något ändras med samma faktor varje gång, till exempel ränta på ränta eller en boll som studsar allt lägre. Linjär optimering används för att fatta det bästa beslutet när resurserna är begränsade, till exempel hur mycket av två produkter en fabrik ska tillverka.

Teori

1. Geometrisk talföljd och summa

I en geometrisk talföljd får man nästa tal genom att multiplicera med samma tal k\displaystyle k, kvoten. Med första termen a\displaystyle a blir följden a, ak, ak2, ak3, …\displaystyle a,\ ak,\ ak^2,\ ak^3,\ \ldots

Summan av de n\displaystyle n första termerna är

Sn=a(kn−1)k−1,k≠1S_n=\dfrac{a(k^n-\nobreak 1)}{k-\nobreak 1},\quad\allowbreak k\neq\nobreak 1

Om −1<k<1\displaystyle -1<k<1 blir termerna allt mindre, och summan av oändligt många termer är S=a1−k\displaystyle S=\dfrac{a}{1-k}.

Viktigt

Identifiera alltid första termen och kvoten. Blanda inte ihop geometriska följder, där man multiplicerar, med aritmetiska, där man adderar.

2. Linjär optimering

Ett problem i linjär optimering har en målfunktion, till exempel vinsten z=c1x+c2y\displaystyle z=c_1x+c_2y, och villkor i form av linjära olikheter. Villkoren bildar tillsammans ett tillåtet område i koordinatsystemet.

  1. Rita alla randlinjer.
  2. Bestäm vilken sida av varje linje som är tillåten.
  3. Bestäm områdets hörnpunkter.
  4. Beräkna målfunktionen i varje hörnpunkt.
  5. Välj det största (eller minsta) värdet.

Hörnpunktsmetoden

Om problemet har en bästa lösning finns den i en hörnpunkt av det tillåtna området.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Geometrisk summa

Uppgift: Beräkna summan 3+6+12+24+48\displaystyle 3+6+12+24+48 med summaformeln.

Exempel 2: Störst vinst

Uppgift: En fabrik tillverkar x\displaystyle x enheter av produkt A och y\displaystyle y enheter av produkt B. Villkoren är 4x+6y≤24\displaystyle 4x+6y\le24, 2x+y≤8\displaystyle 2x+y\le8, x≥0\displaystyle x\ge0 och y≥0\displaystyle y\ge0. Vinsten är z=30x+50y\displaystyle z=30x+50y kr. Bestäm den största vinsten.

Exempel 3: Studsande boll

Uppgift: En boll släpps från 10 m höjd. Efter varje studs når den 80 procent av den förra höjden. Hur lång sträcka färdas bollen totalt, om den studsar i all oändlighet?

Interaktiva funktioner

Geometrisk summa

Välj första term a\displaystyle a, kvot k\displaystyle k och antal termer n\displaystyle n.

Första term: a=3\displaystyle a=3

Kvot: k=2\displaystyle k=2

Antal termer: n=5\displaystyle n=5

Termerna: 3, 6, 12, 24, 48\displaystyle 3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48

S5=3(25−1)2−1=93S_{5}=\dfrac{3(2^{5}-\nobreak 1)}{2-\nobreak 1}=\nobreak 93

Hörnpunktsmetoden

Samma område som i exempel 2. Ändra vinsten per enhet och se vilken hörnpunkt som blir bäst.

Vinst per enhet A: c1=30 kr\displaystyle c_1=30\ \text{kr}

Vinst per enhet B: c2=50 kr\displaystyle c_2=50\ \text{kr}

HörnKoordinaterVinst
O(0; 0)\displaystyle (0;\ 0)z=30⋅0+50⋅0=0\displaystyle z=30\cdot0+50\cdot0=0
A(4; 0)\displaystyle (4;\ 0)z=30⋅4+50⋅0=120\displaystyle z=30\cdot4+50\cdot0=120
B(3; 2)\displaystyle (3;\ 2)z=30⋅3+50⋅2=190\displaystyle z=30\cdot3+50\cdot2=190
C (bäst)(0; 4)\displaystyle (0;\ 4)z=30⋅0+50⋅4=200\displaystyle z=30\cdot0+50\cdot4=200

Störst vinst ger hörnpunkt C, (0; 4)\displaystyle (0;\ 4), med z=200\displaystyle z=200 kr.

Vanliga misstag

  • Att blanda ihop aritmetiska och geometriska följder.
  • Att räkna fel antal termer i en geometrisk summa.
  • Att glömma ett villkor, till exempel x≥0\displaystyle x\ge0.
  • Att räkna målfunktionen i punkter som inte är hörn, eller att missa en hörnpunkt.

Vanliga frågor

Fördjupning och tillämpningar

  • Simplexmetoden: en räknemetod för optimeringsproblem med många variabler.
  • Ekonomi: geometriska summor används för sparande och lån med ränta.
  • Logistik: transportproblem är linjära optimeringsproblem med många villkor.

Viktigt att tänka på

Kontrollera att modellen stämmer med verkligheten och tolka alltid resultatet i sammanhanget.

Testa dig själv1/3

Vilken kvot har den geometriska talföljden 5, 15, 45, 135?

Övningsuppgifter

  1. En geometrisk talföljd har a=5\displaystyle a=5 och k=3\displaystyle k=3. Beräkna summan av de sex första termerna.
  2. En oändlig geometrisk summa är 12 och kvoten är 0,4. Bestäm första termen.
  3. Beräkna den största vinsten i exempel 2 om vinsten i stället är z=60x+20y\displaystyle z=60x+20y.

Svar

  1. 5(36−1)3−1=1820\displaystyle \frac{5(3^6-1)}{3-1}=1820
  2. a1−0,4=12\displaystyle \frac{a}{1-0{,}4}=12 ger a=7,2\displaystyle a=7{,}2
  3. Hörnen ger 0, 240, 220 och 80. Största vinsten är 240 kr i (4; 0)\displaystyle (4;\ 0).

Testa att du förstått

Träna uppgifter i geometri för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Aktivera JavaScript för att använda formulär och interaktiva verktyg. Sidans innehåll och länkar kan läsas utan JavaScript.