Kapitel 3.1.3: Terrasspunkter | Matematik 3

Bakgrund

Alla punkter där derivatan är 0 är inte maximi- eller minimipunkter. I en terrasspunkt planar grafen ut för ett ögonblick men fortsätter sedan åt samma håll, som en trappa med ett vilplan. Här lär du dig skilja terrasspunkter från extrempunkter.

Teori

1. Definition

En terrasspunkt är en punkt där

derivatan är 0, alltså $\displaystyle f'(a)=0$ , och
derivatan har samma tecken på båda sidor om $\displaystyle a$ .

Funktionen är alltså växande på båda sidor, eller avtagande på båda sidor.

Viktigt

En terrasspunkt är inte en maximi- eller minimipunkt.
Grafen byter böjningsriktning i en terrasspunkt, så den är också en inflexionspunkt med vågrät tangent.
Kontrollera alltid derivatans tecken på båda sidor om punkten.

2. Så hittar du terrasspunkter

Derivera och lös $\displaystyle f'(x)=0$ .
Gör en teckentabell för $\displaystyle f'(x)$ .
Där derivatan är 0 men inte byter tecken finns en terrasspunkt.

Tips: om derivatan innehåller en kvadrerad faktor, som $\displaystyle (x-1)^2$ , byter den inte tecken vid den faktorns nollställe.

3. Andraderivatan räcker inte

I en terrasspunkt är ofta $\displaystyle f''(a)=0$ . Men $\displaystyle f''(a)=0$ kan också gälla i en extrempunkt, till exempel för $\displaystyle x^4$ i origo. Därför avgör teckentabellen.

4. Bild av en terrasspunkt

Grafen visar $\displaystyle f(x)=x^3$ (heldragen) och derivatan $\displaystyle f'(x)=3x^2$ (streckad). Derivatans graf nuddar x-axeln i origo men går inte under den.

Terrasspunkt i origo

Lodrät axel: y

−2−1012−6−5−4−3−2−1012345678

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=x^3$
Streckad: $\displaystyle f'(x)=3x^2$

Markerade punkter (ungefär):

Terrasspunkt: (0; 0)

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Grundexempel

Uppgift: Undersök den stationära punkten till $\displaystyle f(x)=x^3$ .

Exempel 2: Två terrasspunkter

Uppgift: Undersök de stationära punkterna till $\displaystyle g(x)=x^5-\frac{10}{3}x^3+5x$ .

Lösning

Steg 1. Derivera. Uttrycket är en jämn kvadrat, enligt kvadreringsregeln.
$g'(x)=5x^4-\nobreak 10x^2+\nobreak 5=5(x^4-\nobreak 2x^2+\nobreak 1)=5(x^2-\nobreak 1)^2$
Steg 2. Derivatan är 0 när $\displaystyle x^2=1$ , alltså $\displaystyle x=\pm1$ . Eftersom den är en kvadrat är den aldrig negativ.
Steg 3. Beräkna funktionsvärdena.
$g(1)=1-\nobreak \tfrac{10}{3}+\nobreak 5=\tfrac{8}{3},\quad\allowbreak g(-\nobreak 1)=-\nobreak \tfrac{8}{3}$

Svar: Terrasspunkter i $\displaystyle \left(1;\ \frac{8}{3}\right)$ och $\displaystyle \left(-1;\ -\frac{8}{3}\right)$ . Funktionen växer överallt.

Teckentabell för derivatan

$\displaystyle x$	$\displaystyle x<-1$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle -1<x<1$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle x>1$
$\displaystyle g'(x)$	$\displaystyle +$ positiv	$\displaystyle 0$ noll	$\displaystyle +$ positiv	$\displaystyle 0$ noll	$\displaystyle +$ positiv
$\displaystyle g(x)$	växer	terrasspunkt	växer	terrasspunkt	växer

$\displaystyle x<-1$
- $\displaystyle g'(x)$ : $\displaystyle +$ positiv
- $\displaystyle g(x)$ : växer
$\displaystyle -1$
- $\displaystyle g'(x)$ : $\displaystyle 0$ noll
- $\displaystyle g(x)$ : terrasspunkt
$\displaystyle -1<x<1$
- $\displaystyle g'(x)$ : $\displaystyle +$ positiv
- $\displaystyle g(x)$ : växer
$\displaystyle 1$
- $\displaystyle g'(x)$ : $\displaystyle 0$ noll
- $\displaystyle g(x)$ : terrasspunkt
$\displaystyle x>1$
- $\displaystyle g'(x)$ : $\displaystyle +$ positiv
- $\displaystyle g(x)$ : växer

Exempel 3: Inga terrasspunkter

Uppgift: Avgör om $\displaystyle h(x)=x^4-4x^3+4x^2$ har några terrasspunkter.

Exempel 4: Ett tillfälligt stopp

Uppgift: Ett föremål har läget $\displaystyle s(t)=\frac{t^3}{3}$ meter vid tiden $\displaystyle t$ sekunder. Beskriv rörelsen kring $\displaystyle t=0$ .

Interaktiva funktioner

Terrasspunkten hos x upphöjt till 3

Se hur tangenten blir vågrät i origo men aldrig lutar nedåt.

Punkt: $\displaystyle x=0{,}5$

f'(0{,}5)=3\cdot\nobreak (0{,}5)^2=\nobreak 0{,}75

Derivatan är positiv: funktionen växer här.

Grafen och tangenten

Lodrät axel: y

−2−1012−4−3−2−101234

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=x^3$
Streckad: Tangenten

Markerade punkter (ungefär):

Vald punkt: (0,5; 0,125)

Två terrasspunkter

Funktionen är $\displaystyle g(x)=x^5-\frac{10}{3}x^3+5x$ med $\displaystyle g'(x)=5(x^2-1)^2$ .

Punkt: $\displaystyle x=0$

g(0)=\nobreak 0,\quad\allowbreak g'(0)=\nobreak 5

Derivatan är positiv: funktionen växer.

Grafen med två terrasspunkter

Lodrät axel: y

−2−1012−6−5−4−3−2−10123456

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle g(x)=x^5-\frac{10}{3}x^3+5x$

Markerade punkter (ungefär):

Terrasspunkt: (−1; −2,6667)
Terrasspunkt: (1; 2,6667)
Vald punkt: (0; 0)

Läge och hastighet

Läget är $\displaystyle s(t)=\frac{t^3}{3}$ meter och hastigheten $\displaystyle v(t)=t^2$ meter per sekund.

Tid: $\displaystyle t=1\ \text{s}$

s(1)\approx\nobreak 0{,}333\ \text{m},\quad\allowbreak v(1)=\nobreak 1\ \text{m/s}

Hastigheten är positiv: föremålet rör sig framåt.

Skillnad mellan terrasspunkter och andra kritiska punkter

Extrempunkt: derivatan är 0 och byter tecken. Funktionen vänder.
Inflexionspunkt: grafen byter böjningsriktning. Derivatan behöver inte vara 0.
Terrasspunkt: derivatan är 0 men byter inte tecken. Det är en inflexionspunkt med vågrät tangent.

Obs

Punkter där derivatan inte finns, till exempel hörn, kan vara viktiga, men de är inte terrasspunkter.

Vanliga misstag

Att förväxla terrasspunkter med extrempunkter.
Att hoppa över teckentabellen för derivatan.
Att tro att $\displaystyle f'(a)=f''(a)=0$ alltid ger en terrasspunkt.
Att glömma tolka punkten i sammanhanget, till exempel som ett tillfälligt stopp.

Vanliga frågor

Tips för säker analys

Arbeta systematiskt

Gör alltid en teckentabell för förstaderivatan.
Leta efter kvadrerade faktorer i derivatan. De byter inte tecken.
Skissa grafen och kontrollera att den stämmer med tabellen.
Ange tydligt om punkten är en maximipunkt, minimipunkt eller terrasspunkt.

Testa dig själv1/3

Vad kännetecknar en terrasspunkt?

Fördjupning (frivillig)

Man kan också använda högre derivator. Om $\displaystyle f'(a)=f''(a)=0$ men tredjederivatan $\displaystyle f'''(a)\neq0$ är punkten en terrasspunkt. För $\displaystyle x^3$ är $\displaystyle f'''(x)=6$ , och för exemplet med två terrasspunkter är $\displaystyle g'''(\pm1)=40$ .

Testa att du förstått

Träna uppgifter i integraler för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Bakgrund

Teori

1. Definition

Viktigt

2. Så hittar du terrasspunkter

3. Andraderivatan räcker inte

4. Bild av en terrasspunkt

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Grundexempel

Exempel 2: Två terrasspunkter

Exempel 3: Inga terrasspunkter

Exempel 4: Ett tillfälligt stopp

Interaktiva funktioner

Terrasspunkten hos x upphöjt till 3

Två terrasspunkter

Läge och hastighet

Skillnad mellan terrasspunkter och andra kritiska punkter

Obs

Vanliga misstag

Vanliga frågor

Är en terrasspunkt samma sak som en sadelpunkt?

Kan en funktion ha flera terrasspunkter?

Hur ser en terrasspunkt ut i grafen?

Tips för säker analys

Arbeta systematiskt

Testa dig själv1/3

Fördjupning (frivillig)

Testa att du förstått