Andraderivatan: Vad säger den om funktionens graf?

Lösning

1. Steg 1. Derivera två gånger.

   $$f'(x)=3x^2-\nobreak 6x-\nobreak 9,\quad\allowbreak f''(x)=\nobreak 6x-\nobreak 6$$

2. Steg 2. Lös $\displaystyle f'(x)=0$. Dela med 3 och faktorisera.

   $$x^2-\nobreak 2x-\nobreak 3=(x+\nobreak 1)(x-\nobreak 3)=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ x=\nobreak -\nobreak 1\ \text{eller}\ x=\nobreak 3$$

3. Steg 3. Sätt in i andraderivatan.

   $$f''(-\nobreak 1)=\nobreak -\nobreak 12<\nobreak 0,\quad\allowbreak f''(3)=\nobreak 12>\nobreak 0$$

4. Steg 4. Inflexionspunkt där $\displaystyle f''(x)=0$. Andraderivatan är en rät linje och byter tecken där.

   $$6x-\nobreak 6=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ x=\nobreak 1,\quad\allowbreak f(1)=\nobreak -\nobreak 6$$

Svar: Lokal maximipunkt $\displaystyle (-1;\ 10)$, lokal minimipunkt $\displaystyle (3;\ -22)$ och inflexionspunkt $\displaystyle (1;\ -6)$.

Lösning

1. Steg 1. Derivera två gånger.

   $$P'(x)=-\nobreak 0{,}2x+\nobreak 20,\quad\allowbreak P''(x)=\nobreak -\nobreak 0{,}2$$

2. Steg 2. $\displaystyle P'(x)$ är ungefär hur mycket vinsten ökar om man säljer en enhet till. Det kallas marginalvinst.

3. Steg 3. Andraderivatan är negativ, så marginalvinsten minskar med 0,2 kr för varje extra såld enhet.

Svar: Vinsten växer så länge $\displaystyle x<100$, men allt långsammare. Den är störst när $\displaystyle x=100$.

Lösning

1. Steg 1. Hastigheten är förstaderivatan. Föremålet vänder när hastigheten byter tecken.

   $$v(t)=\nobreak s'(t)=3t^2-\nobreak 12t+\nobreak 9=3(t-\nobreak 1)(t-\nobreak 3)$$

2. Steg 2. Hastigheten är 0 när $\displaystyle t=1$ och $\displaystyle t=3$, och negativ mellan dem.

3. Steg 3. Accelerationen är andraderivatan. Den är 0 när hastigheten har sitt minsta värde.

   $$a(t)=\nobreak s''(t)=\nobreak 6t-\nobreak 12=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ t=\nobreak 2,\quad\allowbreak v(2)=\nobreak -\nobreak 3$$

Svar: Föremålet vänder efter 1 s och efter 3 s. Det rör sig snabbast bakåt efter 2 s, med farten $\displaystyle 3\ \text{m/s}$.

Lösning

1. Steg 1. Derivatorna.

   $$f'(x)=\nobreak \cos x,\quad\allowbreak f''(x)=\nobreak -\nobreak \sin x$$

2. Steg 2. Stationära punkter där $\displaystyle \cos x=0$: $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$ och $\displaystyle x=\frac{3\pi}{2}$. Där är $\displaystyle f''$ lika med $\displaystyle -1$ respektive 1.

Svar: Maximum i $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$, minimum i $\displaystyle x=\frac{3\pi}{2}$ och inflexionspunkter i $\displaystyle x=0$, $\displaystyle \pi$ och $\displaystyle 2\pi$.

Lösning

1. Steg 1. Derivera.

   $$f'(x)=\nobreak 4x^3,\quad\allowbreak f''(x)=\nobreak 12x^2$$

2. Steg 2. Både $\displaystyle f'(0)$ och $\displaystyle f''(0)$ är 0, så andraderivatatestet ger inget svar.

3. Steg 3. Teckentabell: $\displaystyle f'(-1)=-4<0$ och $\displaystyle f'(1)=4>0$. Derivatan byter från minus till plus.

Svar: Origo är en minimipunkt. Andraderivatan är aldrig negativ, så det finns ingen inflexionspunkt.