Kapitel 2.2.3: Tangenter och derivata | Matematik 3

Bakgrund

En tangent är en rät linje som nuddar grafen i en punkt och har samma lutning som grafen just där. Derivatan i punkten är tangentens lutning. Därför kan du med derivatan bestämma tangentens ekvation, hitta punkter med vågrät tangent och uppskatta funktionsvärden nära punkten.

Teori

1. Derivatan är tangentens lutning

f'(a)=\lim_{h\to\nobreak 0}\dfrac{f(a+\nobreak h)-\nobreak f(a)}{h}

Talet $\displaystyle f'(a)$ är lutningen $\displaystyle k$ för tangenten i punkten $\displaystyle (a;\ f(a))$ .

2. Tangentens ekvation

Tangenten går genom $\displaystyle (a;\ f(a))$ och har lutningen $\displaystyle f'(a)$ . Enpunktsformeln ger

y-\nobreak f(a)=f'(a)(x-\nobreak a)

Du kan också sätta in punkten i $\displaystyle y=kx+m$ och lösa ut $\displaystyle m$ . Båda sätten ger samma linje.

Beräkna $\displaystyle f(a)$ , punktens y-koordinat.
Derivera och beräkna $\displaystyle k=f'(a)$ .
Sätt in i formeln och förenkla till formen $\displaystyle y=kx+m$ .

3. Vågräta tangenter

En vågrät tangent har lutningen 0. Lös därför $\displaystyle f'(x)=0$ . I sådana punkter kan grafen ha en maximipunkt, minimipunkt eller terrasspunkt.

4. Normalen

Normalen är linjen som är vinkelrät mot tangenten i samma punkt. För vinkelräta linjer gäller $\displaystyle k_1\cdot k_2=-1$ , så normalen har lutningen $\displaystyle -\dfrac{1}{f'(a)}$ när $\displaystyle f'(a)\neq0$ .

5. Andraderivatan

Andraderivatan $\displaystyle f''(x)$ visar hur tangentens lutning ändras. Om $\displaystyle f''(x)>0$ ligger tangenten under grafen nära punkten, och om $\displaystyle f''(x)<0$ ligger den över.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Tangentens ekvation

Uppgift: Bestäm ekvationen för tangenten till $\displaystyle f(x)=x^2-3x+2$ i punkten där $\displaystyle x=3$ .

Exempel 2: Normalen

Uppgift: Bestäm ekvationen för normalen till samma kurva, $\displaystyle f(x)=x^2-3x+2$ , i punkten $\displaystyle (3;\ 2)$ .

Exempel 3: Vågräta tangenter

Uppgift: Bestäm de punkter på kurvan $\displaystyle y=x^3-3x$ där tangenten är vågrät, och ange tangenternas ekvationer.

Exempel 4: Tangent till en hyperbel

Uppgift: Bestäm tangenten till $\displaystyle f(x)=\dfrac{4}{x}$ i punkten där $\displaystyle x=2$ .

Exempel 5: Andraderivatan

Uppgift: Bestäm $\displaystyle f'(x)$ och $\displaystyle f''(x)$ för $\displaystyle f(x)=x^4-3x^3+2x$ . Hur böjer grafen i $\displaystyle x=1$ ?

Fördjupning (Ma4)

Med produkt-, kvot- och kedjeregeln kan du bestämma tangenter även till funktioner som $\displaystyle x^2\sin x$ , $\displaystyle \dfrac{x^2+1}{x-2}$ och $\displaystyle \sin(x^2)$ . Metoden för tangentens ekvation är densamma.

Interaktiva funktioner

Tangent i valfri punkt

Funktionen är $\displaystyle f(x)=x^3-2x+1$ med $\displaystyle f'(x)=3x^2-2$ .

Tangeringspunktens x-värde: $\displaystyle a=1$

f(1)=\nobreak 0,\quad\allowbreak f'(1)=\nobreak 1

y=\nobreak x-\nobreak 1

Jämför kurva och tangent i: $\displaystyle x=1{,}5$

I $\displaystyle x=1{,}5$ skiljer sig kurvan och tangenten med $\displaystyle 0{,}875$ . Nära tangeringspunkten är skillnaden liten.

Grafen och tangenten

Lodrät axel: y

−3−2−10123−6−5−4−3−2−1012345678

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=x^3-2x+1$
Streckad: Tangenten

Markerade punkter (ungefär):

Tangeringspunkt: (1; 0)
Jämförelsepunkt: (1,5; 1,375)

Första- och andraderivatan

Funktionen är $\displaystyle f(x)=x^4-3x^3+2x$ .

Punkt: $\displaystyle x=1$

f'(1)=\nobreak -\nobreak 3,\quad\allowbreak f''(1)=\nobreak -\nobreak 6

Andraderivatan är negativ: grafen böjer nedåt och tangenten ligger över grafen.

Grafen och tangenten i punkten

Lodrät axel: y

−10123−8−7−6−5−4−3−2−10123456

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=x^4-3x^3+2x$
Streckad: Tangenten

Markerade punkter (ungefär):

Tangeringspunkt: (1; 0)

Vanliga misstag

Att sätta in $\displaystyle a$ i $\displaystyle f'(x)$ men glömma att beräkna $\displaystyle f(a)$ för punktens y-koordinat.
Att använda derivatans uttryck $\displaystyle f'(x)$ som lutning i stället för talet $\displaystyle f'(a)$ .
Teckenfel när parentesen i $\displaystyle y-f(a)=f'(a)(x-a)$ multipliceras ut.
Att ge normalen lutningen $\displaystyle -f'(a)$ i stället för $\displaystyle -\frac{1}{f'(a)}$ .

Vanliga frågor

Tips för att bemästra derivata och tangenter

Viktigt att tänka på

Skriv upp punkten $\displaystyle (a;\ f(a))$ och lutningen $\displaystyle f'(a)$ innan du ställer upp ekvationen.
Kontrollera svaret genom att sätta in punkten i tangentens ekvation.
Skissa grafen och tangenten. Lutningen ska stämma med bilden.
Använd andraderivatan för att se hur grafen böjer.

Testa dig själv1/3

Vilken ekvation har tangenten till $\displaystyle y=x^2$ i punkten $\displaystyle (2;\ 4)$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i derivata för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här