Kapitel 2.2.2: Derivatan av potensfunktioner | Matematik 3

Bakgrund

En potensfunktion har formen $\displaystyle f(x)=a\cdot x^n$ . Exponenten $\displaystyle n$ kan vara ett heltal, ett negativt tal eller ett bråk. Därför hör även $\displaystyle \frac{1}{x}$ och $\displaystyle \sqrt{x}$ hit. Samma deriveringsregel gäller för alla dessa.

Teori

1. Potensregeln

D(x^n)=n\cdot\nobreak x^{n-\nobreak 1}

Regeln gäller för alla reella exponenter, där funktionen är definierad.

Multiplicera med exponenten $\displaystyle n$ .
Minska exponenten med 1.

2. Skriv om till potenser

Bråk och rötter måste skrivas om innan regeln används. Två potenslagar är centrala:

\dfrac{1}{x^n}=\nobreak x^{-\nobreak n},\qquad\allowbreak \sqrt[n]{x}=\nobreak x^{1/n}

Exempel

$\displaystyle D(x^{-2})=-2x^{-3}=-\dfrac{2}{x^3}$
$\displaystyle D(x^{1/2})=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$\displaystyle D(x^{1/3})=\dfrac{1}{3}x^{-2/3}$

3. Specialfall

Konstant: $\displaystyle D(c)=0$ .
$\displaystyle D(x)=1$ , eftersom $\displaystyle x=x^1$ .
Funktionerna $\displaystyle \frac{1}{x}$ och $\displaystyle \sqrt{x}$ är inte definierade i alla punkter. Till exempel kräver $\displaystyle \sqrt{x}$ att $\displaystyle x\ge0$ , och derivatan kräver $\displaystyle x>0$ .

4. Potens eller exponentialfunktion?

I $\displaystyle x^3$ är variabeln basen, och då gäller potensregeln. I $\displaystyle 3^x$ är variabeln exponenten. Det är en exponentialfunktion, och då gäller andra regler (avsnitt 2.3).

Tillämpningar och exempel

Exempel 1: Negativ exponent

Uppgift: Bestäm lutningen för tangenten till $\displaystyle f(x)=\dfrac{2}{x}$ i punkten där $\displaystyle x=1$ .

Exempel 2: Kubikrot

Uppgift: Derivera $\displaystyle f(x)=6\sqrt[3]{x}$ och beräkna $\displaystyle f'(8)$ .

Exempel 3: Skriv om en kvot

Uppgift: Derivera $\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+3}{x}$ .

Exempel 4: Kast uppåt

Uppgift: En boll kastas uppåt. Höjden är $\displaystyle h(t)=-4{,}9t^2+20t+1{,}5$ meter efter $\displaystyle t$ sekunder. Bestäm hastigheten efter 2 s och den högsta höjden.

Exempel 5: Utveckla först, eller kedjeregeln (Ma4)

Uppgift: Derivera $\displaystyle f(x)=(2x+1)^3$ .

Interaktiva funktioner

Potensregeln med olika exponenter

Välj exponenten $\displaystyle n$ i $\displaystyle f(x)=x^n$ . Punkten $\displaystyle x$ är positiv så att alla exponenter fungerar.

Exponent: $\displaystyle n=0{,}5$

Punkt: $\displaystyle x=4$

D\big(x^{\tfrac{1}{2}}\big)=\tfrac{1}{2}\cdot\nobreak x^{-\nobreak \tfrac{1}{2}}

f'(4)=\nobreak 0{,}25

Grafen och tangenten

Lodrät axel: y

−1012345−2−1012345678

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=x^{\frac{1}{2}}$
Streckad: Tangenten

Markerade punkter (ungefär):

Tangeringspunkt: (4; 2)

Bollens höjd och hastighet

Höjden är $\displaystyle h(t)=-4{,}9t^2+20t+1{,}5$ meter och hastigheten $\displaystyle v(t)=-9{,}8t+20$ meter per sekund.

Tid: $\displaystyle t=1\ \text{s}$

h(1)=\nobreak 16{,}6\ \text{m},\quad\allowbreak v(1)=\nobreak 10{,}2\ \text{m/s}

Hastigheten är positiv: bollen är på väg uppåt.

Höjden som funktion av tiden

Lodrät axel: y

012340510152025

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 5.

Heldragen: $\displaystyle h(t)=-4{,}9t^2+20t+1{,}5$
Streckad: Tangenten

Markerade punkter (ungefär):

Bollen: (1; 16,6)

Vanliga misstag

Att derivera $\displaystyle \frac{1}{x}$ som om det vore $\displaystyle \frac{1}{1}$ . Skriv om till $\displaystyle x^{-1}$ först.
Teckenfel med negativa exponenter: $\displaystyle -1-1=-2$ , inte 0.
Att blanda ihop $\displaystyle x^n$ med $\displaystyle a^x$ .
Att derivera täljare och nämnare var för sig i ett bråk. Dela upp eller skriv om i stället.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra området

Viktigt att tänka på

Kom ihåg grundregeln $\displaystyle D(x^n)=nx^{n-1}$ .
Skriv alltid om rötter och bråk till potenser först.
Skilj på potensfunktioner och exponentialfunktioner.
Skriv gärna svaret utan negativa exponenter.

Testa dig själv1/3

Derivera $\displaystyle f(x)=\dfrac{4}{x}$ .

Fördjupning: Fysik och teknik

Derivator beskriver förändringstakt i många modeller. Några exempel som du möter i fysik och i senare kurser:

Avsvalning: temperaturen $\displaystyle T$ sjunker snabbare ju större skillnaden mot omgivningens temperatur $\displaystyle T_a$ är: $\displaystyle T'(t)=-k(T-T_a)$ .
Radioaktivt sönderfall: $\displaystyle N(t)=N_0e^{-\lambda t}$ ger $\displaystyle N'(t)=-\lambda N(t)$ . Antalet kärnor minskar i takt med hur många som finns kvar.
Ett fritt fall: läget $\displaystyle s(t)=4{,}9t^2$ ger hastigheten $\displaystyle s'(t)=9{,}8t$ och accelerationen $\displaystyle 9{,}8\ \text{m/s}^2$ .

Ekvationer där en funktion och dess derivata ingår kallas differentialekvationer och behandlas i Matematik 5.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i derivata för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här