Kapitel 2: Derivata | Matematik 3

Bakgrund

Derivata beskriver förändringstakt och lutning i en punkt. Begreppet är centralt för att analysera funktioner, optimera modeller och förstå samband i fysik, ekonomi och teknik.

Teori

Definition av derivata

Derivatan av $\displaystyle f$ i punkten $\displaystyle x$ är gränsvärdet av ändringskvoten när avståndet $\displaystyle h$ mellan punkterna går mot 0:

f'(x)=\lim_{h\to\nobreak 0}\dfrac{f(x+\nobreak h)-\nobreak f(x)}{h}

Geometriskt är $\displaystyle f'(x)$ lutningen på grafens tangent i punkten.

Vad derivatans tecken säger

Positiv derivata betyder att funktionen växer, negativ derivata att den avtar. Där derivatan är 0 är tangenten vågrät. Punkten kan då vara en maximipunkt, en minimipunkt eller en terrasspunkt.

Deriveringsregler i Ma3

Konstant: $\displaystyle D(k)=0$ , eftersom en konstant inte ändras.
Potensregeln: $\displaystyle D(x^n)=nx^{n-1}$
Konstant faktor: $\displaystyle D(k\cdot f(x))=k\cdot f'(x)$
Summa och differens: $\displaystyle D(f\pm g)=f'\pm g'$
Exponentialfunktioner: $\displaystyle D(e^x)=e^x$ , $\displaystyle D(e^{kx})=ke^{kx}$ och $\displaystyle D(a^x)=a^x\ln a$

Fördjupning (Ma4)

I Ma4 tillkommer produktregeln $\displaystyle (fg)'=f'g+fg'$ , kvotregeln $\displaystyle \left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ , kedjeregeln för sammansatta funktioner och derivatorna $\displaystyle D(\ln x)=\frac1x$ , $\displaystyle D(\sin x)=\cos x$ och $\displaystyle D(\cos x)=-\sin x$ .

Tillämpningar

Extrempunkter: lös $\displaystyle f'(x)=0$ .
Var funktionen växer och avtar: undersök tecknet på $\displaystyle f'(x)$ .
Tangenter: $\displaystyle y-f(a)=f'(a)(x-a)$ .
Optimering: största eller minsta värde i en modell.
Linjär approximation: $\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$ nära $\displaystyle x=a$ .

Fördjupning: implicit derivering

När $\displaystyle y$ inte står ensamt, som i cirkelns ekvation, deriveras båda leden med avseende på $\displaystyle x$ :

x^2+\nobreak y^2=\nobreak r^2\ \Rightarrow\ 2x+\nobreak 2y\dfrac{dy}{dx}=\nobreak 0\ \Rightarrow\ \dfrac{dy}{dx}=-\nobreak \dfrac{x}{y}

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Derivera ett polynom

Uppgift: Bestäm derivatan till $\displaystyle f(x)=3x^2-2x+1$ .

Exempel 2: Extrempunkter

Uppgift: Bestäm extrempunkterna till $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+2$ och avgör deras karaktär.

Exempel 3: Lådan med störst volym

Uppgift: Från en kartong som är 30 cm gånger 40 cm klipps lika stora kvadrater med sidan $\displaystyle x$ cm bort i hörnen. Kanterna viks upp till en låda utan lock. Vilket $\displaystyle x$ ger störst volym?

Interaktiva funktioner

Funktionsvärde och derivata

$\displaystyle f(x)=3x^2-2x+1$ och $\displaystyle f'(x)=6x-2$ .

$\displaystyle x=1$

f(1)\approx\nobreak 2,\quad\allowbreak f'(1)=6\cdot\nobreak 1-\nobreak 2\approx\nobreak 4

Derivatan är positiv: funktionen växer här.

Tangent i en punkt

$\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+2$ med derivatan $\displaystyle f'(x)=3x^2-6x$ .

Tangeringspunkt: $\displaystyle a=2$

f(2)\approx\nobreak -\nobreak 2,\quad\allowbreak f'(2)\approx\nobreak 0

y-\nobreak (-\nobreak 2)=0\big(x-\nobreak 2\big)

Funktionen och tangenten

Lodrät axel: y

−2−101234−8−7−6−5−4−3−2−1012345678910

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+2$
Streckad: Tangenten

Markerade punkter (ungefär):

Tangeringspunkt: (2; −2)

Kontroll: tangenten ger värdet $\displaystyle -2$ ett steg till höger, i $\displaystyle x=a+1$ .

Låda utan lock

$\displaystyle V(x)=x(40-2x)(30-2x)$ där $\displaystyle 0<x<15$ .

Kvadratens sida: $\displaystyle x=5{,}5\text{ cm}$

29\cdot\nobreak 19\cdot\nobreak 5{,}5\approx\nobreak 3030{,}5\text{ cm}^3

V'(5{,}5)\approx\nobreak 23

Där derivatan är 0

Derivatan är 0 vid $\displaystyle x\approx5{,}657$ och $\displaystyle x\approx17{,}676$ . Bara det första värdet ligger i det tillåtna intervallet.

Lutning på en cirkel (fördjupning)

Övre halvan av cirkeln $\displaystyle x^2+y^2=25$ , där $\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac xy$ .

$\displaystyle x=3$

y=\sqrt{25-\nobreak x^2}\approx\nobreak 4,\quad\allowbreak \dfrac{dy}{dx}\approx\nobreak -\nobreak 0{,}75

Vanliga misstag

Derivera en konstant till något annat än 0.
Glömma att multiplicera med exponenten i potensregeln.
Blanda ihop funktionsvärdet $\displaystyle f(a)$ och lutningen $\displaystyle f'(a)$ .
Tro att $\displaystyle f'(x)=0$ alltid ger en extrempunkt. Det kan också vara en terrasspunkt.
Missa domän- och randpunkter i optimering

Vanliga frågor

Tips för att bemästra derivata

Viktigt att tänka på

Visualisera derivatan som tangentens lutning.
Identifiera sammansatta funktioner tidigt för rätt regelval.
Kontrollera hela definitionsmängden vid extremvärden.
Vid optimering: testa även ändpunkter i tillåtet intervall.
Verifiera resultat med grafisk tolkning och kontext.

Observera

Derivata är kraftfullt, men säkrast i kombination med rimlighetskontroll, enhetsanalys och tydlig domäntolkning.

Testa dig själv

Testa dig själv: Derivata1/3

Vad är derivatan av $\displaystyle f(x)=x^3$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i derivata för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här