Kapitel 2.2.4: Deriverbarhet | Matematik 3

Bakgrund

En funktion är deriverbar i en punkt om den har en bestämd lutning där, alltså en enda tangent. De flesta funktioner du möter är deriverbara överallt, men det finns undantag: hörn, hopp och lodräta tangenter. Här lär du dig känna igen dem och undersöka dem med derivatans definition.

Teori

1. Definition

Funktionen $\displaystyle f$ är deriverbar i $\displaystyle x=a$ om gränsvärdet nedan finns och är ett ändligt tal:

f'(a)=\lim_{h\to\nobreak 0}\dfrac{f(a+\nobreak h)-\nobreak f(a)}{h}

Gränsvärdet måste bli samma när $\displaystyle h$ närmar sig 0 från höger ( $\displaystyle h>0$ ) som från vänster ( $\displaystyle h<0$ ).

2. Geometrisk tolkning

Deriverbar i en punkt betyder att grafen är "mjuk" där: om du zoomar in tillräckligt ser grafen ut som en rät linje, tangenten. I ett hörn ser grafen ut som ett hörn hur mycket du än zoomar.

3. Villkor för deriverbarhet

Funktionen är kontinuerlig i punkten, alltså utan hopp eller avbrott.
Lutningen från vänster och lutningen från höger finns.
De två lutningarna är lika.

Viktigt

Deriverbarhet medför kontinuitet, men kontinuitet räcker inte. $\displaystyle f(x)=|x|$ är kontinuerlig i $\displaystyle x=0$ men inte deriverbar där, eftersom grafen har ett hörn.

4. Typer av punkter utan derivata

Hörn: olika lutning från vänster och höger, till exempel $\displaystyle |x|$ i $\displaystyle x=0$ .
Lodrät tangent: lutningen växer obegränsat, till exempel $\displaystyle \sqrt[3]{x}$ i $\displaystyle x=0$ .
Hopp eller avbrott: funktionen är inte kontinuerlig, och då finns ingen derivata.

5. Styckvis definierade funktioner

En funktion kan definieras med olika uttryck på olika intervall. I skarven måste båda delarna ge samma funktionsvärde (kontinuitet) och samma lutning för att funktionen ska vara deriverbar där.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Absolutbeloppet i origo

Uppgift: Undersök om $\displaystyle f(x)=|x|$ är deriverbar i $\displaystyle x=0$ genom att jämföra lutningen från vänster och från höger.

Exempel 2: Styckvis definierad funktion

Uppgift: Bestäm konstanterna $\displaystyle a$ och $\displaystyle b$ så att funktionen nedan blir deriverbar i $\displaystyle x=1$ .

f(x)=\begin{cases}x^2, & x<\nobreak 1\\ ax+\nobreak b, & x\ge\nobreak 1\end{cases}

Exempel 3: Lodrät tangent

Uppgift: Undersök om $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x}$ är deriverbar i $\displaystyle x=0$ .

Fördjupning: en funktion som svänger

Uppgift: Låt $\displaystyle f(x)=x^2\sin\dfrac{1}{x}$ när $\displaystyle x\neq0$ och $\displaystyle f(0)=0$ . Undersök om $\displaystyle f$ är deriverbar i $\displaystyle x=0$ .

Interaktiva funktioner

Lutningen från vänster och höger för absolutbeloppet

Sekanter från origo till en punkt på varje sida.

Avstånd från origo: $\displaystyle h=0{,}5$

\text{höger: }\ \dfrac{|0{,}5|-\nobreak 0}{0{,}5}=\nobreak 1

\text{vänster: }\ \dfrac{|-\nobreak 0{,}5|-\nobreak 0}{-\nobreak 0{,}5}=\nobreak -\nobreak 1

Hur kort avståndet än blir är lutningarna olika. Det finns ingen gemensam tangent i origo.

Absolutbeloppet med sekanter åt båda håll

Lodrät axel: y

−2−1012−1012

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=|x|$
Streckad: Höger sekant
Prickad: Vänster sekant

Markerade punkter (ungefär):

Vänster punkt: (−0,5; 0,5)
Hörn: (0; 0)
Höger punkt: (0,5; 0,5)

Gör en styckvis funktion deriverbar

Funktionen är $\displaystyle x^2$ när $\displaystyle x<1$ och $\displaystyle ax+b$ när $\displaystyle x\ge1$ . Hitta värden som gör skarven mjuk.

Linjens lutning: $\displaystyle a=1$

Linjens konstantterm: $\displaystyle b=0$

y=\nobreak x

Kontinuitet, $\displaystyle a+b=1$ : uppfyllt.
Samma lutning, $\displaystyle a=2$ : inte uppfyllt.

Inte deriverbar i x = 1

Grafen hänger ihop men har ett hörn i skarven.

Den styckvis definierade funktionen

Lodrät axel: y

−2−10123−2−10123456

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=x^2$
Streckad: Linjen

Markerade punkter (ungefär):

Parabelns ände: (1; 1)
Linjens start: (1; 1)

Vanliga misstag

Att anta att kontinuitet alltid räcker för deriverbarhet.
Att bara kontrollera kontinuiteten i skarven för en styckvis funktion och glömma lutningen.
Att glömma lodräta tangenter som en orsak till att derivatan saknas.
Att dra slutsatser från en grov skiss i stället för att undersöka gränsvärdet.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra deriverbarhet

Viktigt att tänka på

Använd derivatans definition i punkter där du är osäker.
Jämför alltid lutningen från vänster och från höger i skarvar och hörn.
Deriverbarhet gäller punkt för punkt: en funktion kan sakna derivata i en enda punkt men vara deriverbar överallt annars.
Rita grafen och leta efter hörn, hopp och lodräta tangenter.

Testa dig själv1/3

Vilket påstående är sant?

Fördjupning för högre betyg

Medelvärdessatsen

Om $\displaystyle f$ är kontinuerlig på intervallet $\displaystyle a\le x\le b$ och deriverbar mellan ändpunkterna, så finns minst ett tal $\displaystyle c$ mellan $\displaystyle a$ och $\displaystyle b$ där

f'(c)=\dfrac{f(b)-\nobreak f(a)}{b-\nobreak a}

Det betyder att det någonstans finns en tangent som är parallell med sekanten. Om du kör 100 km på en timme har du någon gång kört exakt 100 km/h.

Medelvärdessatsen för en tredjegradsfunktion

För $\displaystyle f(x)=x^3$ på intervallet från 0 till $\displaystyle b$ är sekantens lutning $\displaystyle b^2$ .

Intervallets slut: $\displaystyle b=2$

f'(c)=\nobreak 3c^2=\nobreak b^2\ \Leftrightarrow\ c=\dfrac{b}{\sqrt{3}}\approx\nobreak 1{,}155

Sekanten och den parallella tangenten

Lodrät axel: y

012−2−10123456789

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=x^3$
Streckad: Sekanten
Prickad: Tangenten i c

Markerade punkter (ungefär):

Start: (0; 0)
Slut: (2; 8)
Punkten c: (1,1547; 1,5396)

Vidare i högre kurser

På universitetet studeras begrepp som Lipschitz-kontinuitet, som begränsar hur brant en funktion kan vara, och derivator av funktioner med komplexa tal. Grunden är densamma: ett gränsvärde av ändringskvoter.

Exempel och tillämpningar (Fördjupning)

Exempel 4: Medelvärdessatsen

Uppgift: Bestäm det tal $\displaystyle c$ mellan 1 och 3 där tangenten till $\displaystyle f(x)=x^2$ är parallell med sekanten genom $\displaystyle (1;\ 1)$ och $\displaystyle (3;\ 9)$ .

Exempel 5: En gräns för hur snabbt roten växer

Uppgift: Visa att $\displaystyle |\sqrt{x}-\sqrt{y}|\le\frac{1}{2}|x-y|$ när $\displaystyle x\ge1$ och $\displaystyle y\ge1$ .

Vanliga frågor (Fördjupning)

Slutsats

En funktion är deriverbar i en punkt när ändringskvoten har samma ändliga gränsvärde från båda håll. Hörn, hopp och lodräta tangenter är de vanligaste undantagen. Undersök dem med derivatans definition och jämför vänster och höger.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i derivata för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Bakgrund

Teori

1. Definition

2. Geometrisk tolkning

3. Villkor för deriverbarhet

Viktigt

4. Typer av punkter utan derivata

5. Styckvis definierade funktioner

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Absolutbeloppet i origo

Exempel 2: Styckvis definierad funktion

Exempel 3: Lodrät tangent

Fördjupning: en funktion som svänger

Interaktiva funktioner

Lutningen från vänster och höger för absolutbeloppet

Gör en styckvis funktion deriverbar

Inte deriverbar i x = 1

Vanliga misstag

Vanliga frågor

Kan en funktion vara deriverbar om den inte är kontinuerlig?

Hur avgör jag visuellt om deriverbarhet saknas?

Hur påverkar deriverbarhet grafens utseende?

Är deriverbar och differentierbar samma sak i Ma3?

Tips för att bemästra deriverbarhet

Viktigt att tänka på

Testa dig själv1/3

Fördjupning för högre betyg

Medelvärdessatsen

Medelvärdessatsen för en tredjegradsfunktion

Vidare i högre kurser

Exempel och tillämpningar (Fördjupning)

Exempel 4: Medelvärdessatsen

Exempel 5: En gräns för hur snabbt roten växer

Vanliga frågor (Fördjupning)

Vad betyder kontinuerligt deriverbar?

Hur hänger andraderivatan ihop med grafens form?

Varför är deriverbarhet viktig senare?

Slutsats

Testa att du förstått