Kapitel 1.4.3: Tangent | Matematik 3

Bakgrund

Tangenter är centrala när man analyserar hur en funktion beter sig. De kopplar ihop geometri med derivata och används i optimering, fysik och numeriska metoder som Newtons metod.

Teori

Definition av tangent

En tangent till en kurva i punkten $\displaystyle P$ är en rät linje som

går genom punkten $\displaystyle P$ ,
har samma lutning som kurvan i $\displaystyle P$ ,
nuddar kurvan i $\displaystyle P$ när man zoomar in nära punkten.

Tangentens ekvation

Lutningen på kurvan i $\displaystyle x=a$ är derivatan $\displaystyle f'(a)$ . En linje genom punkten $\displaystyle (a;\ f(a))$ med lutningen $\displaystyle f'(a)$ har ekvationen

y-\nobreak f(a)=f'(a)(x-\nobreak a)

Det är enpunktsformen $\displaystyle y-y_1=k(x-x_1)$ med $\displaystyle k=f'(a)$ .

Tangenten i fem steg

Bestäm tangeringspunktens x-värde $\displaystyle a$ .
Beräkna y-värdet $\displaystyle f(a)$ .
Derivera: bestäm $\displaystyle f'(x)$ .
Beräkna lutningen $\displaystyle k=f'(a)$ .
Sätt in i $\displaystyle y-f(a)=f'(a)(x-a)$ och lös ut $\displaystyle y$ .

Normal

Normalen är den linje genom $\displaystyle P$ som är vinkelrät mot tangenten. Två linjer är vinkelräta när produkten av lutningarna är $\displaystyle -1$ , så om $\displaystyle f'(a)\neq0$ har normalen lutningen

k_{\text{normal}}=-\nobreak \dfrac{1}{f'(a)}

Tillämpningar av tangenter

Linjärisering: nära punkten är tangenten en bra approximation av funktionen.
Optimering: i en inre maximi- eller minimipunkt är tangenten vågrät, alltså $\displaystyle f'(a)=0$ .
Hastighet: tangentens lutning är den momentana förändringshastigheten.
Newtons metod: där tangenten skär x-axeln får man ett bättre närmevärde till ett nollställe.

Exempel: tangent till en parabel

Uppgift: Bestäm tangentens ekvation till $\displaystyle f(x)=x^2$ i punkten där $\displaystyle x=2$ .

Fördjupning: tangent till en kurva som inte är en funktion

För en kurva som ges av ett samband mellan $\displaystyle x$ och $\displaystyle y$ , till exempel cirkeln $\displaystyle x^2+y^2=25$ , bestäms lutningen med implicit derivering. Det behandlas i senare kurser.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Vågrät tangent

Uppgift: Bestäm tangentens ekvation till $\displaystyle f(x)=x^3-3x+1$ i punkten där $\displaystyle x=1$ .

Exempel 2: Normal (fördjupning)

Uppgift: Bestäm normalens ekvation till $\displaystyle f(x)=\ln x$ i punkten där $\displaystyle x=e$ . Använd att derivatan av $\displaystyle \ln x$ är $\displaystyle \frac1x$ (kapitel 2.3).

Exempel 3: Närmaste punkten på en parabel

Uppgift: Vilka punkter på parabeln $\displaystyle y=x^2$ ligger närmast punkten $\displaystyle (0;\ 1)$ ?

Interaktiva funktioner

Tangent och normal

Välj funktion och tangeringspunkt $\displaystyle x=a$ .

Tangeringspunkt: $\displaystyle a=2$

P\approx\nobreak (2;\ 4),\quad\allowbreak f'(2)\approx\nobreak 4

\text{tangent: }y=\nobreak 4x-\nobreak 4

k_{\text{normal}}=-\nobreak \dfrac{1}{4}\approx\nobreak -\nobreak 0{,}25

Funktionen och tangenten

Lodrät axel: y

−3−2−10123−2−10123456789

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=x^2$
Streckad: Tangenten

Markerade punkter (ungefär):

Tangeringspunkt: (2; 4)

Linjärisering nära punkten a

Tangenten $\displaystyle L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ approximerar funktionen. Jämför i $\displaystyle x=a+h$ .

Avstånd från a: $\displaystyle h=0{,}2$

\begin{aligned}f(a+\nobreak h)&\approx\nobreak 4{,}84\\L(a+\nobreak h)&\approx\nobreak 4{,}8\\\text{fel}&\approx\nobreak 0{,}04\end{aligned}

Ju mindre $\displaystyle |h|$ är, desto mindre blir felet. Tangenten är en lokal approximation.

Ett steg med Newtons metod

Tangenten i $\displaystyle x=a$ skär x-axeln i $\displaystyle x_{\text{ny}}=a-\dfrac{f(a)}{f'(a)}$ , ofta närmare ett nollställe.

x_{\text{ny}}\approx\nobreak 1

Vanliga misstag

Förväxla tangentens ekvation med funktionens ekvation.
Glömma att beräkna derivatan i rätt punkt, alltså använda $\displaystyle f'(x)$ i stället för $\displaystyle f'(a)$ .
Felaktigt anta att en tangent alltid skär x-axeln. En vågrät tangent gör det inte.
Missförstå sambandet mellan vågrät tangent och extrempunkter: en vågrät tangent kan också höra till en terrasspunkt.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra tangenter

Viktigt att tänka på

Rita tangent och kurva tillsammans som kontroll.
Kontrollera funktionens definitionsmängd vid tangeringspunkten.
Tangentlinjen ger lokal approximation, inte global modell.
Var noggrann vid implicit derivering och normallinjer.

Fördjupning: tangenter i tre dimensioner

För en yta $\displaystyle z=f(x,y)$ i rummet motsvaras tangenten av ett tangentplan. Det behandlas på högskolan och ingår inte i Ma3.

z-\nobreak f(a,b)=\nobreak f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)

Här är $\displaystyle f_x$ och $\displaystyle f_y$ ytans lutning i x- respektive y-led.

Exempel: tangentplan

Uppgift: Bestäm tangentplanet till ytan $\displaystyle z=x^2+y^2$ i punkten $\displaystyle (1,2,5)$ .

Testa dig själv

Testa dig själv: Tangent1/3

Vad kännetecknar en tangent till en kurva i en punkt?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här