Kapitel 1: Algebra och funktioner | Matematik 3

Bakgrund

Algebra och funktioner är centrala verktyg för att beskriva relationer mellan storheter. I Ma3 utvecklas metoderna vidare så att du kan modellera, analysera och tolka mer avancerade problem.

Teori

1. Polynomfunktioner

En polynomfunktion kan skrivas:

f(x)=a_nx^n+a_{n-\nobreak 1}x^{n-\nobreak 1}+\ldots+a_1x+a_0

Kontinuerlig för alla reella tal.
Deriverbar överallt.
Antalet reella nollställen är högst polynomets grad.

Andragradsfunktion: $\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c,\ a\neq0$ .

Om $\displaystyle a>0$ öppnar parabeln uppåt.
Om $\displaystyle a<0$ öppnar parabeln nedåt.

Viktigt

Symmetrilinjen för en andragradsfunktion är $\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$ .

2. Exponential- och logaritmfunktioner

Exponentialfunktion:

f(x)=a\cdot\nobreak b^x,\ \allowbreak a>\nobreak 0,\ \allowbreak b>\nobreak 0,\ \allowbreak b\neq\nobreak 1

$\displaystyle b>1$ : växande funktion.
$\displaystyle 0<b<1$ : avtagande funktion.

Logaritmfunktionen är inversen till exponentialfunktionen:

y=\log_b(x),\ \allowbreak b>\nobreak 0,\ \allowbreak b\neq\nobreak 1

$\displaystyle \log_b(b^x)=x$
$\displaystyle b^{\log_b(x)}=x$
$\displaystyle \log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y)$
$\displaystyle \log_b\!\left(\frac{x}{y}\right)=\log_b(x)-\log_b(y)$
$\displaystyle \log_b(x^n)=n\log_b(x)$

3. Trigonometriska funktioner

Allmän form:

\begin{gathered}f(x)=a\sin(bx+c)+d\\\text{eller}\\f(x)=a\cos(bx+c)+d\end{gathered}

$\displaystyle |a|$ : amplitud
$\displaystyle b$ : påverkar perioden, $\displaystyle T=\dfrac{2\pi}{|b|}$
$\displaystyle c$ : fasförskjutning
$\displaystyle d$ : vertikal förskjutning

Fördjupning (Ma4): tangensfunktionen.

f(x)=a\tan(bx+\nobreak c)+\nobreak d

Tangens har lodräta asymptoter där $\displaystyle \cos(bx+c)=0$ , och grafen är därför inte sammanhängande.

4. Sammansatta funktioner och inversa funktioner (fördjupning, Ma4)

En sammansatt funktion betyder att utdata från en funktion används som indata i nästa. Det skrivs:

(f\circ g)(x)=\nobreak f(g(x))

Om $\displaystyle f^{-1}$ är inversen till $\displaystyle f$ gäller:

$\displaystyle (f\circ f^{-1})(x)=x$
$\displaystyle (f^{-1}\circ f)(x)=x$

Observera

Alla funktioner har inte invers. En funktion måste vara injektiv (en-till-en), alltså ge olika funktionsvärden för olika x-värden, för att ha en invers.

5. Derivata och integraler

Derivatan beskriver hur snabbt funktionsvärdet ändras, alltså lutningen på grafens tangent:

f'(x)=\lim_{h\to\nobreak 0}\frac{f(x+\nobreak h)-\nobreak f(x)}{h}

$\displaystyle (x^n)'=nx^{n-1}$ (potensregeln)
Fördjupning (Ma4): $\displaystyle (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ (produktregeln)
$\displaystyle \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$ (kvotregeln, Ma4)
$\displaystyle (f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$ (kedjeregeln, Ma4)

Att bestämma en primitiv funktion är den omvända operationen till att derivera. $\displaystyle C$ är en godtycklig konstant, och $\displaystyle F$ är en primitiv funktion till $\displaystyle f$ , alltså $\displaystyle F'(x)=f(x)$ :

\begin{gathered}\int f(x)\,dx=\nobreak F(x)+C\\\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-\nobreak F(a)\end{gathered}

Interaktivt funktionslabb

Utforska i realtid

Växla mellan andragrad, exponential/logaritm och trigonometrisk analys.

$\displaystyle a=2$

$\displaystyle b=-4$

$\displaystyle c=-2$

f(x)=2x^2-\nobreak 4x-\nobreak 2

Symmetrilinjen är den lodräta linje som går genom vertex (parabelns vändpunkt): $\displaystyle x=-\dfrac{b}{2a}$ .

x=-\nobreak \dfrac{(-\nobreak 4)}{2\cdot\nobreak 2}=\nobreak 1

Diskriminanten avgör hur många nollställen grafen har.

D=\nobreak b^2-\nobreak 4ac=(-\nobreak 4)^2-\nobreak 4\cdot\nobreak 2\cdot\nobreak (-\nobreak 2)=\nobreak 32

\text{Vertex}\approx\nobreak (1;\ -\nobreak 4)

f(0)=\nobreak -\nobreak 2

\begin{aligned}x_1&\approx-\nobreak 0{,}4142\\x_2&\approx\nobreak 2{,}4142\end{aligned}

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Analysera en andragradsfunktion

Uppgift: Bestäm symmetrilinje, nollställen, skärning med y-axeln och vertex för $\displaystyle f(x)=2x^2-4x-2$ .

Exempel 2: Exponentialekvation

Uppgift: Lös ekvationen $\displaystyle 2^x=8$ .

Exempel 3: Trigonometrisk funktion

Uppgift: Bestäm amplitud, period, största och minsta värde för $\displaystyle f(x)=2\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)+1$ .

Exempel 4: Sammansatt funktion och derivata

Uppgift: Låt $\displaystyle f(x)=x^2$ och $\displaystyle g(x)=3x+1$ . Bestäm $\displaystyle f(g(x))$ och derivatan av det sammansatta uttrycket.

Exempel 5: Bestämd integral

Uppgift: Beräkna $\displaystyle \displaystyle\int_0^2\left(3x^2+2x-1\right)dx$ .

Vanliga misstag

Förväxla regler för derivering och integrering.
Glömma kedjeregeln vid derivering av sammansatta funktioner.
Felaktig hantering av trigonometriska identiteter.
Missförstå parametrarnas påverkan i funktionsuttryck.
Glömma integrationskonstanten $\displaystyle +C$ vid obestämd integral.

Vanliga frågor

Viktiga saker att tänka på

Checklista för säker funktionsanalys

Bestäm definitionsmängd och värdemängd innan vidare analys.
Undersök symmetrier, gränsvärden och asymptoter.
Koppla alltid parametervärden till hur grafen faktiskt förändras.
Tolka matematiska resultat i problemets sammanhang.
Verifiera kritiska resultat med insättning eller grafisk kontroll.

Testa dig själv

Testa dig själv: Algebra och funktioner1/3

Vilket gradtal har polynomet $\displaystyle p(x)=4x^3-x+7$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här