Kapitel 1.4.2: Polynomfunktioner av högre grad | Matematik 3

Bakgrund

Polynom av grad 3 och högre utökar idéerna från linjära och kvadratiska funktioner. De används i modellering av rörelse, optimering och signaler där mer komplexa kurvformer krävs.

Teori

Definition

Ett polynom av grad $\displaystyle n$ har formen nedan, där den ledande koefficienten $\displaystyle a_n$ inte är 0:

f(x)=a_nx^n+a_{n-\nobreak 1}x^{n-\nobreak 1}+\dots+a_1x+a_0

Egenskaper

Polynomfunktioner är kontinuerliga för alla reella $\displaystyle x$ : grafen har inga hopp.
De kan deriveras hur många gånger som helst.
Om graden är jämn eller udda påverkar ändbeteendet.
Den ledande termen $\displaystyle a_nx^n$ styr grafen för stora $\displaystyle |x|$ .
Ett polynom av grad $\displaystyle n$ har högst $\displaystyle n$ reella nollställen och högst $\displaystyle n-1$ extrempunkter.

Nollställen och faktorisering

Om polynomet har $\displaystyle n$ reella nollställen $\displaystyle r_1,\ldots,r_n$ (räknat med multiplicitet) kan det skrivas i faktorform:

f(x)=a_n(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)

Fördjupning (Ma4): räknar man även med komplexa nollställen har varje polynom av grad $\displaystyle n$ exakt $\displaystyle n$ nollställen.

Derivata och extrempunkter

Med deriveringsreglerna i kapitel 2 får man derivatan term för term:

f'(x)=na_nx^{n-\nobreak 1}+(n-1)a_{n-\nobreak 1}x^{n-\nobreak 2}+\dots+a_1

Extrempunkter kan bara finnas där $\displaystyle f'(x)=0$ , eftersom tangenten är vågrät i en topp eller dal.

Algebraiska metoder

Faktorisering, till exempel genom gruppering
Nollproduktmetoden
Polynomdivision efter att ett nollställe hittats
Pröva rationella kandidater: delare till konstanttermen delat med delare till den ledande koefficienten

Numeriska metoder

När exakta lösningar är svåra att hitta används närmevärden från digitala verktyg eller metoder som Newtons metod, halveringsmetoden och sekantmetoden.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Tredjegradsfunktion

Uppgift: Bestäm nollställen och de x-värden där $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-4x+12$ kan ha extrempunkter.

Exempel 2: Kastbana

Uppgift: Höjden i meter efter $\displaystyle t$ sekunder är $\displaystyle h(t)=-4{,}9t^2+20t+1{,}5$ . Bestäm bollens största höjd.

Exempel 3: Största vinst

Uppgift: Vinsten i tusentals kronor när $\displaystyle x$ enheter tillverkas är $\displaystyle V(x)=-0{,}01x^3+0{,}5x^2+10x-100$ . För vilket $\displaystyle x$ är vinsten störst?

Interaktiva funktioner

Tredjegradsfunktion och derivata

Ändra koefficienterna i $\displaystyle f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ .

$\displaystyle a_3=1$

$\displaystyle a_2=-3$

$\displaystyle a_1=-4$

$\displaystyle a_0=12$

f(x)=x^{3}-\nobreak 3x^{2}-\nobreak 4x+\nobreak 12

Den ledande termen har positiv koefficient: $\displaystyle f(x)\to-\infty$ när $\displaystyle x\to-\infty$ och $\displaystyle f(x)\to+\infty$ när $\displaystyle x\to+\infty$ .

f'(x)=3x^{2}-\nobreak 6x-\nobreak 4

Derivatan är 0 vid $\displaystyle x\approx-0{,}53\ \text{och}\ x\approx2{,}53$ . Där har grafen vågrät tangent.

Grafen med punkter där derivatan är 0

Lodrät axel: y

−4−3−2−1012345−20−1001020

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 10.

Heldragen: $\displaystyle y=f(x)$

Markerade punkter (ungefär):

Vågrät tangent: (−0,5275; 13,1285)
Vågrät tangent: (2,5275; −1,1285)

Newtons metod (fördjupning)

Närmevärde till ett nollställe för funktionen ovan. Varje steg beräknar $\displaystyle x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$ .

Startvärde

x_0=\nobreak 2\ \Rightarrow\ x\approx\nobreak 2,\quad\allowbreak f(x)\approx\nobreak 0

Kastbana

$\displaystyle h(t)=-4{,}9t^2+v_0t+h_0$

Starthastighet: $\displaystyle v_0=20\text{ m/s}$

Starthöjd: $\displaystyle h_0=1{,}5\text{ m}$

t=\dfrac{v_0}{9{,}8}\approx\nobreak 2{,}04\text{ s},\quad\allowbreak h_{\max}\approx\nobreak 21{,}9\text{ m}

Vinst och derivata

$\displaystyle V(x)=-0{,}01x^3+0{,}5x^2+10x-100$ (tusentals kronor).

Antal tillverkade enheter

\displaystyle x

V(41{,}4)\approx\nobreak 461{,}4,\quad\allowbreak V'\approx\nobreak -\nobreak 0{,}02,\quad\allowbreak V''\approx\nobreak -\nobreak 1{,}48

Derivatan är nästan 0: här är vinsten som störst.

Vanliga misstag

Tro att ett polynom av grad $\displaystyle n$ alltid har $\displaystyle n$ reella nollställen.
Felaktig användning av faktorsatsen.
Inte testa alla kandidater från rationella rotteoremet.
Förväxla lokala och globala extrempunkter.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra högre grad

Viktigt att tänka på

Öva kopplingen mellan koefficienter och grafens form.
Använd faktorsatsen och pröva rationella kandidater systematiskt.
Skissa alltid grafen för kvalitetskontroll.
Var beredd att kombinera algebraiska och numeriska metoder.
Analysera ändbeteende tidigt i lösningen.

Testa dig själv

Testa dig själv: Polynomfunktioner av högre grad1/3

Hur många nollställen kan en fjärdegradsfunktion ha som mest?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här