Gymnasiet
Ma3b/Ma3c
Kapitel 1.4.4

Sekant

På den här sidan

Bakgrund

Sekanten beskriver hur en funktion förändras mellan två punkter och är en direkt bro till derivatans idé om momentanhastighet när punkterna närmar sig varandra.

Teori

En sekant är en rät linje som skär en kurva i (minst) två punkter. I funktionsanalys använder vi sekanten genom två bestämda punkter på grafen.

Definition

Sekanten genom punkterna (a; f(a))\displaystyle (a;\ f(a)) och (b; f(b))\displaystyle (b;\ f(b)) har lutningen

k=f(b)−f(a)b−ak=\dfrac{f(b)-\nobreak f(a)}{b-\nobreak a}

Uttrycket kallas differenskvot eller ändringskvot. Sekantens ekvation skrivs med enpunktsformen:

y−f(a)=k(x−a)y-\nobreak f(a)=\nobreak k(x-\nobreak a)

Genomsnittlig förändringshastighet

Sekantens lutning är den genomsnittliga förändringshastigheten för funktionen i intervallet från a\displaystyle a till b\displaystyle b:

ΔyΔx=f(b)−f(a)b−a\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(b)-\nobreak f(a)}{b-\nobreak a}

Symbolen Δ\displaystyle \Delta (delta) betyder ändring.

Från sekant till tangent

Skriv b=a+h\displaystyle b=a+h. När h\displaystyle h går mot 0 närmar sig den andra punkten den första, sekanten övergår i tangenten och lutningen går mot derivatan:

f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a)=\lim_{h\to\nobreak 0}\dfrac{f(a+\nobreak h)-\nobreak f(a)}{h}

Användningsområden

  1. Närmevärde till derivatan
  2. Sekantmetoden för att hitta nollställen
  3. Medelhastighet i fysik
  4. Genomsnittlig förändring i ekonomi

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Sekantens ekvation

Uppgift: Bestäm ekvationen för sekanten till f(x)=x2\displaystyle f(x)=x^2 genom punkterna där x=1\displaystyle x=1 och x=3\displaystyle x=3.

Exempel 2: Genomsnittlig förändringshastighet

Uppgift: Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten för f(x)=x3−2x\displaystyle f(x)=x^3-2x i intervallet 0≤x≤2\displaystyle 0\le x\le2.

Exempel 3: Närmevärde till derivatan

Uppgift: Använd en sekant med h=0,1\displaystyle h=0{,}1 för att uppskatta lutningen till f(x)=x\displaystyle f(x)=\sqrt{x} i x=4\displaystyle x=4.

Interaktiva funktioner

Sekant till f(x)=x2\displaystyle f(x)=x^2

Flytta punkterna a\displaystyle a och b\displaystyle b och se hur sekanten ändras.

Första punkten: a=1\displaystyle a=1

Andra punkten: b=3\displaystyle b=3

k=f(b)−f(a)b−a=9−13−1≈4k=\dfrac{f(b)-\nobreak f(a)}{b-\nobreak a}=\dfrac{9-\nobreak 1}{3-\nobreak 1}\approx\nobreak 4y=4x−3y=\nobreak 4x-\nobreak 3
Kurvan och sekanten
Lodrät axel: y
−5−2013501020

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 10.

  • Heldragen: f(x)=x2\displaystyle f(x)=x^2
  • Streckad: Sekanten

Markerade punkter (ungefär):

  • Punkt a: (1; 1)
  • Punkt b: (3; 9)

För f(x)=x2\displaystyle f(x)=x^2 är sekantens lutning alltid a+b\displaystyle a+b. Låt b\displaystyle b närma sig a\displaystyle a: då går lutningen mot 2a\displaystyle 2a, tangentens lutning.

Genomsnittlig förändringshastighet

Välj ett intervall för f(x)=x3−2x\displaystyle f(x)=x^3-2x.

Start: x0=0\displaystyle x_0=0

Slut: x1=2\displaystyle x_1=2

f(x1)−f(x0)x1−x0≈2\dfrac{f(x_1)-\nobreak f(x_0)}{x_1-\nobreak x_0}\approx\nobreak 2

Sekantlutningen närmar sig derivatan

Differenskvoten för f(x)=x\displaystyle f(x)=\sqrt{x} mellan x=4\displaystyle x=4 och x=4+h\displaystyle x=4+h.

Steglängd: h=0,1\displaystyle h=0{,}1

4+h−2h≈0,248457\dfrac{\sqrt{4+\nobreak h}-\nobreak 2}{h}\approx0{,}248457

Exakt är f′(4)=0,25\displaystyle f'(4)=0{,}25. Felet är ungefär 0,001543\displaystyle 0{,}001543 och blir mindre när h\displaystyle h minskar.

Sekantmetoden (fördjupning)

Närmevärden till nollstället för f(x)=x3−x−2\displaystyle f(x)=x^3-x-2, tre steg från två startvärden.

StegNärmevärde xFunktionsvärde f(x)
21,333333-0,962963
31,462687-0,333339
41,5311690,058626

Vanliga misstag

  • Förväxla sekantlutning (genomsnittlig) med derivata (momentan).
  • Glömma att sekanten gäller ett intervall, inte en enskild punkt.
  • Tro att sekanten alltid skär exakt två punkter för alla funktioner.
  • Missa tolkningen av lutningen i den givna kontexten.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra sekanter

Viktig insikt

  • Tolka alltid sekantlutningen i problemets kontext.
  • Träna på att växla mellan grafisk och algebraisk representation.
  • Studera hur lutningen ändras när punkterna närmar sig varandra.
  • Använd sekanter för derivataapproximation när exakt derivata är svår.
  • Kontrollera ett närmevärde genom att sätta in det i funktionen. Ju närmare 0 funktionsvärdet blir, desto bättre.

Fördjupning och tillämpningar

Sekantmetoden

Dra en sekant genom två punkter nära ett nollställe. Där sekanten skär x-axeln får man ett nytt, ofta bättre, närmevärde. Formeln är

xn+1=xn−f(xn)⋅xn−xn−1f(xn)−f(xn−1)x_{n+\nobreak 1}=x_n-f(x_n)\cdot\nobreak \dfrac{x_n-\nobreak x_{n-\nobreak 1}}{f(x_n)-\nobreak f(x_{n-\nobreak 1})}

Metoden kräver ingen derivata och är därför praktisk när derivatan är svår att beräkna.

Tillämpningar i fysik och ekonomi

  • Medelhastighet och medelacceleration under ett tidsintervall.
  • Genomsnittlig tillväxt per år för till exempel omsättning eller befolkning.

Observera

En sekant beskriver alltid ett intervall. För förändringen i en enda punkt behövs tangenten, alltså derivatan.

Slutsats

Sekanten är ett nyckelbegrepp mellan algebra, geometri och analys. När du behärskar differenskvoten blir övergången till derivata och numeriska metoder naturlig.

Testa dig själv

Testa dig själv: Sekant1/3

Vilken lutning har sekanten till y=x2\displaystyle y=x^2 genom (1; 1)\displaystyle (1;\ 1) och (3; 9)\displaystyle (3;\ 9)?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Aktivera JavaScript för att använda formulär och interaktiva verktyg. Sidans innehåll och länkar kan läsas utan JavaScript.