Kapitel 2.3.2: Talet e och derivatan av e upphöjt till kx | Matematik 3

Bakgrund

Talet $\displaystyle e\approx2{,}718$ är, liksom $\displaystyle \pi$ , en av matematikens viktigaste konstanter. Det används som bas i exponentialfunktioner eftersom derivatan då blir så enkel: $\displaystyle D(e^{kx})=ke^{kx}$ .

Teori

1. Talet e

Talet $\displaystyle e$ kan beskrivas på flera sätt:

Som den bas där lutningen i $\displaystyle (0;\ 1)$ är exakt 1. Då blir $\displaystyle D(e^x)=e^x$ .
Som ett gränsvärde, kopplat till ränta som läggs till allt oftare:

e=\lim_{n\to\nobreak \infty}\left(1+\nobreak \dfrac{1}{n}\right)^n

Fördjupning: $\displaystyle e$ kan också skrivas som en oändlig summa, $\displaystyle e=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\ldots$

2. Funktionen e upphöjt till x

Den är sin egen derivata: $\displaystyle D(e^x)=e^x$ .
Grafen skär y-axeln i $\displaystyle (0;\ 1)$ , eftersom $\displaystyle e^0=1$ .
Funktionen är alltid positiv och växer hela tiden.
För stora $\displaystyle x$ växer den snabbare än alla polynom.

3. Derivatan av e upphöjt till kx

D(e^{kx})=k\cdot\nobreak e^{kx}

Varför? Potenslagen $\displaystyle e^{k(x+h)}=e^{kx}\cdot e^{kh}$ ger ändringskvoten

\dfrac{e^{k(x+\nobreak h)}-\nobreak e^{kx}}{h}=e^{kx}\cdot\nobreak \dfrac{e^{kh}-\nobreak 1}{h}

När $\displaystyle h$ går mot 0 går $\displaystyle \dfrac{e^{kh}-1}{h}$ mot $\displaystyle k$ . Det följer av att $\displaystyle \dfrac{e^{h}-1}{h}$ går mot 1, som är lutningen för $\displaystyle e^x$ i $\displaystyle x=0$ .

4. Betydelsen av k

$\displaystyle k>0$ : funktionen växer (tillväxt).
$\displaystyle k<0$ : funktionen avtar (sönderfall).
Ju större $\displaystyle |k|$ är, desto snabbare går förändringen.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Derivera e upphöjt till 3x

Uppgift: Derivera $\displaystyle f(x)=e^{3x}$ och beräkna $\displaystyle f'(1)$ .

Exempel 2: Tangent till e upphöjt till x

Uppgift: Bestäm tangenten till $\displaystyle f(x)=e^x$ i punkten där $\displaystyle x=0$ .

Exempel 3: Exponentiell tillväxt

Uppgift: Antalet bakterier är $\displaystyle N(t)=1000e^{0{,}2t}$ efter $\displaystyle t$ timmar. Bestäm tillväxthastigheten efter 5 timmar.

Exempel 4: Var har grafen en viss lutning?

Uppgift: I vilken punkt har grafen till $\displaystyle y=e^{2x}$ lutningen 4?

Interaktiva funktioner

Talet e som gränsvärde

Beräkna $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ för $\displaystyle n=10^p$ , alltså 1, 10, 100 och så vidare.

Tiopotensen: $\displaystyle p=1$

n=\nobreak 10^{1}=\nobreak 10:\quad\left(1+\nobreak \dfrac{1}{10}\right)^{10}\approx2{,}593742

Ju större $\displaystyle n$ , desto närmare kommer värdet $\displaystyle e\approx2{,}718282$ .

Lutningen för e upphöjt till kx

Funktionen är $\displaystyle f(x)=e^{kx}$ och derivatan $\displaystyle f'(x)=ke^{kx}$ .

Konstant: $\displaystyle k=1$

Punkt: $\displaystyle x=1$

f(1)=e^{1}\approx\nobreak 2{,}718,\quad\allowbreak f'(1)\approx\nobreak 2{,}718

k är positivt: funktionen växer.

Grafen och tangenten

Lodrät axel: y

−3−2−10123−2−1012345678910

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=e^{kx}$
Streckad: Tangenten

Markerade punkter (ungefär):

Tangeringspunkt: (1; 2,7183)

Bakterietillväxt

Antalet är $\displaystyle N(t)=1000e^{0{,}2t}$ och tillväxthastigheten $\displaystyle N'(t)=200e^{0{,}2t}$ .

Tid: $\displaystyle t=5\ \text{h}$

Storhet	Värde
Antal bakterier	$\displaystyle N(5)\approx2718$
Ökning per timme	$\displaystyle N'(5)\approx544$

Ökningen per timme är alltid 20 procent av det aktuella antalet.

Olika värden på k

Graferna till $\displaystyle e^{2x}$ , $\displaystyle e^{x}$ och $\displaystyle e^{-x}$ . Alla går genom $\displaystyle (0;\ 1)$ , men lutningen där är $\displaystyle k$ .

Tre exponentialfunktioner

Lodrät axel: y

−2−1012012345678

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=e^{2x}$
Streckad: $\displaystyle y=e^{x}$
Prickad: $\displaystyle y=e^{-x}$

Markerade punkter (ungefär):

Gemensam punkt: (0; 1)

Vanliga misstag

Att förväxla $\displaystyle e^x$ med $\displaystyle x^e$ .
Att glömma faktorn $\displaystyle k$ : $\displaystyle D(e^{3x})$ är $\displaystyle 3e^{3x}$ , inte $\displaystyle e^{3x}$ .
Att tro att exponenten ska minskas med 1, som i potensregeln.
Att tolka ett negativt $\displaystyle k$ som att funktionsvärdena är negativa. De är alltid positiva.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra talet e och dess derivata

Viktigt att tänka på

Kom ihåg att $\displaystyle D(e^x)=e^x$ och $\displaystyle D(e^{kx})=ke^{kx}$ .
Tolka derivatan som lutningen i varje punkt.
Använd naturliga logaritmen för att lösa ekvationer som $\displaystyle e^{2x}=2$ .
Räkna exakt med $\displaystyle e$ och avrunda först i slutet.

Testa dig själv1/3

Derivera $\displaystyle f(x)=e^{-4x}$ .

Testa att du förstått

Träna uppgifter i derivata för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här