Kapitel 2.3.1: Allt om exponentialfunktioner | Matematik 3

Bakgrund

Exponentialfunktioner beskriver förändring med samma procent per tidsenhet, till exempel ränta, befolkningstillväxt och radioaktivt sönderfall. Här går vi igenom hur de ser ut, hur de deriveras och hur derivatan tolkas.

Teori

1. Definition

f(x)=a\cdot\nobreak b^x,\quad\allowbreak b>\nobreak 0,\ \allowbreak b\neq\nobreak 1

Talet $\displaystyle a$ är startvärdet, alltså värdet när $\displaystyle x=0$ . Basen $\displaystyle b$ är förändringsfaktorn: funktionsvärdet multipliceras med $\displaystyle b$ när $\displaystyle x$ ökar med 1. Till exempel betyder $\displaystyle b=1{,}05$ en ökning med 5 procent.

2. Egenskaper när a är positivt

Om $\displaystyle b>1$ växer funktionen hela tiden.
Om $\displaystyle 0<b<1$ avtar funktionen hela tiden.
Grafen skär y-axeln i $\displaystyle (0;\ a)$ .
Grafen skär aldrig x-axeln, eftersom $\displaystyle b^x$ alltid är positivt.

3. Den naturliga exponentialfunktionen

Med basen $\displaystyle e\approx2{,}718$ får man $\displaystyle f(x)=e^x$ , den enda exponentialfunktion vars derivata är funktionen själv.

4. Derivatan

Huvudregel

D(a\cdot\nobreak b^x)=a\cdot\nobreak b^x\cdot\nobreak \ln b

Regeln kommer från omskrivningen $\displaystyle b^x=e^{x\ln b}$ och regeln $\displaystyle D(e^{kx})=ke^{kx}$ med $\displaystyle k=\ln b$ . För basen $\displaystyle e$ är $\displaystyle \ln e=1$ , så $\displaystyle D(e^x)=e^x$ .

Derivatan är alltså funktionen själv gånger konstanten $\displaystyle \ln b$ . Det betyder att förändringshastigheten är proportionell mot funktionsvärdet: ju större mängd, desto snabbare förändring.

5. Tillämpningar

Befolkningsmodeller och tillväxthastighet.
Radioaktivt sönderfall och halveringstid.
Ränta på ränta.
Avsvalning och läkemedel i kroppen.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Derivera med basen 2

Uppgift: Derivera $\displaystyle f(x)=3\cdot2^x$ och beräkna $\displaystyle f'(0)$ .

Exempel 2: Basen e

Uppgift: Derivera $\displaystyle g(x)=5e^{2x}$ .

Exempel 3: Halveringstid

Uppgift: En radioaktiv mängd är $\displaystyle A(t)=A_0e^{-0{,}1t}$ efter $\displaystyle t$ timmar. Bestäm halveringstiden och hur snabbt mängden minskar.

Exempel 4: Modell från mätdata

Uppgift: En modell anpassad till mätdata är $\displaystyle y=120\cdot1{,}35^x$ , där $\displaystyle x$ är antal år. Hur stor är den årliga ökningen i procent, och hur snabbt växer $\displaystyle y$ när $\displaystyle x=2$ ?

Fördjupning: variabel i både bas och exponent

Uppgift: Derivera $\displaystyle h(x)=(3x+1)^{e^x}$ .

Interaktiva funktioner

Startvärde, förändringsfaktor och derivata

Funktionen är $\displaystyle f(x)=a\cdot b^x$ med derivatan $\displaystyle f'(x)=a\cdot b^x\ln b$ .

Startvärde: $\displaystyle a=3$

Förändringsfaktor: $\displaystyle b=2$

Punkt: $\displaystyle x=1$

f(1)\approx\nobreak 6,\quad\allowbreak f'(1)\approx6\cdot\nobreak (0{,}693)\approx\nobreak 4{,}159

Basen är större än 1: funktionen växer. Grafen skär y-axeln i $\displaystyle (0;\ 3)$ .

Grafen och tangenten

Lodrät axel: y

−3−2−10123−2−1012345678910111213141516

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=a\cdot b^x$
Streckad: Tangenten

Markerade punkter (ungefär):

Tangeringspunkt: (1; 6)
Startvärde: (0; 3)

Halveringstid

För $\displaystyle A(t)=100e^{-\lambda t}$ är halveringstiden $\displaystyle \dfrac{\ln2}{\lambda}$ . Symbolen $\displaystyle \lambda$ (lambda) är sönderfallskonstanten.

Sönderfallskonstant: $\displaystyle \lambda=0{,}1$

t_{1/2}=\dfrac{\ln2}{0{,}1}\approx\nobreak 6{,}93\ \text{h}

Mängden som funktion av tiden

Lodrät axel: y

051015202530020406080100

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 5 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 20.

Heldragen: $\displaystyle A(t)=100e^{-\lambda t}$
Streckad: $\displaystyle y=50$

Markerade punkter (ungefär):

Halveringstid: (6,9315; 50)

Vanliga misstag

Att förväxla $\displaystyle e^x$ , en exponentialfunktion, med $\displaystyle x^e$ , en potensfunktion.
Att använda potensregeln på $\displaystyle b^x$ .
Att glömma faktorn $\displaystyle \ln b$ när basen inte är $\displaystyle e$ .
Att tolka förändringsfaktorn 1,35 som 1,35 procent. Den betyder 35 procent.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra exponentialfunktioner och derivator

Viktigt att tänka på

Lär dig huvudregeln $\displaystyle D(a\cdot b^x)=a\cdot b^x\ln b$ .
Läs av startvärde och förändringsfaktor direkt ur funktionen.
Skissa grafen för att kontrollera att tecknet på derivatan är rimligt.
Tolka svaret i sammanhanget och ange enhet.

Testa dig själv1/3

Vilken funktion avtar?

Avancerade koncept

1. Exponentiell regression

Med ett digitalt verktyg kan man anpassa en modell $\displaystyle y=a\cdot b^x$ till mätdata. Modellen i exempel 4 är ett sådant resultat.

2. Differentialekvationer (Ma5)

Eftersom $\displaystyle y=Ce^{kx}$ uppfyller $\displaystyle y'=ky$ används exponentialfunktioner som lösningar till modeller för tillväxt och sönderfall.

3. Komplexa tal (Ma4)

Eulers formel kopplar ihop exponentialfunktionen med trigonometri: $\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x$ .

4. Hyperboliska funktioner

Funktionerna $\displaystyle \cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$ och $\displaystyle \sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$ byggs av exponentialfunktioner. En hängande kedja har formen av en cosh-kurva.

Historisk not

Leonhard Euler bidrog avgörande till förståelsen av exponentialfunktioner och gav talet $\displaystyle e$ dess namn.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i derivata för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här