Kapitel 2.3.3: Derivatan av a upphöjt till x | Matematik 3

Bakgrund

Många modeller använder en annan bas än $\displaystyle e$ , till exempel $\displaystyle 2^x$ för fördubbling eller $\displaystyle 1{,}05^x$ för en ökning med 5 procent. Här lär du dig derivera $\displaystyle f(x)=a^x$ och förstå varför den naturliga logaritmen dyker upp.

Teori

1. Egenskaper hos a upphöjt till x

Basen $\displaystyle a$ är positiv. Funktionen är definierad för alla $\displaystyle x$ .
Funktionsvärdena är alltid positiva.
Grafen går genom $\displaystyle (0;\ 1)$ , eftersom $\displaystyle a^0=1$ .
Om $\displaystyle a>1$ växer funktionen, om $\displaystyle 0<a<1$ avtar den och om $\displaystyle a=1$ är den konstant.

2. Härledning

Derivatans definition och potenslagen $\displaystyle a^{x+h}=a^x\cdot a^h$ ger

f'(x)=\lim_{h\to\nobreak 0}\dfrac{a^x\cdot\nobreak a^h-\nobreak a^x}{h}=a^x\cdot\nobreak \lim_{h\to\nobreak 0}\dfrac{a^h-\nobreak 1}{h}

Derivatan är alltså $\displaystyle a^x$ gånger en konstant som bara beror på basen. Konstanten är lutningen i $\displaystyle x=0$ . Genom att skriva $\displaystyle a=e^{\ln a}$ , så att $\displaystyle a^x=e^{x\ln a}$ , och använda $\displaystyle D(e^{kx})=ke^{kx}$ ser man att konstanten är $\displaystyle \ln a$ .

Huvudresultat

D(a^x)=a^x\cdot\nobreak \ln a

3. Specialfall

$\displaystyle D(e^x)=e^x$ , eftersom $\displaystyle \ln e=1$ .
$\displaystyle D(1^x)=0$ , eftersom $\displaystyle \ln1=0$ .
Om $\displaystyle 0<a<1$ är $\displaystyle \ln a$ negativt, så derivatan är negativ.

4. Exponenter av typen kx

Potenslagen $\displaystyle a^{kx}=(a^k)^x$ gör att samma regel fungerar: $\displaystyle D(a^{kx})=a^{kx}\cdot k\ln a$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Basen 2

Uppgift: Derivera $\displaystyle f(x)=2^x$ och beräkna $\displaystyle f'(3)$ .

Exempel 2: Avtagande funktion

Uppgift: Ett fordons värde är $\displaystyle V(x)=50\cdot0{,}8^x$ tusen kronor efter $\displaystyle x$ år. Bestäm $\displaystyle V'(2)$ och tolka svaret.

Exempel 3: Fördubblingstid

Uppgift: Antalet bakterier är $\displaystyle N(t)=1000\cdot2^{t/5}$ efter $\displaystyle t$ timmar. Antalet fördubblas alltså var femte timme. Hur snabbt växer antalet efter 10 timmar?

Exempel 4: Var är lutningen 1?

Uppgift: I vilken punkt har grafen till $\displaystyle y=2^x$ lutningen 1?

Fördjupning (Ma4): sammansatta uttryck

Uppgift: Derivera $\displaystyle g(x)=3^{x^2+2x}$ och $\displaystyle f(x)=x\cdot4^x$ .

Interaktiva funktioner

Basen styr lutningen

Funktionen är $\displaystyle f(x)=a^x$ med derivatan $\displaystyle f'(x)=a^x\ln a$ .

Bas: $\displaystyle a=2$

Punkt: $\displaystyle x=1$

f'(1)=2^{1}\cdot\nobreak \ln2\approx2\cdot\nobreak (0{,}693)\approx\nobreak 1{,}386

Basen är större än 1, så ln a är positivt och funktionen växer.

Grafen och tangenten

Lodrät axel: y

−3−2−10123−2−1012345678910

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=a^x$
Streckad: Tangenten

Markerade punkter (ungefär):

Tangeringspunkt: (1; 2)
Skärning med y-axeln: (0; 1)

Fördubbling var femte timme

Antalet är $\displaystyle N(t)=1000\cdot2^{t/5}$ .

Tid: $\displaystyle t=10\ \text{h}$

N(10)\approx\nobreak 4000,\quad\allowbreak N'(10)\approx\nobreak 554{,}5

Varje gång antalet fördubblas fördubblas också tillväxthastigheten.

Antalet bakterier

Lodrät axel: y

0369101215182005 00010 00015 000

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 5 000.

Heldragen: $\displaystyle N(t)=1000\cdot2^{t/5}$

Markerade punkter (ungefär):

Vald tid: (10; 4 000)

Vanliga misstag

Att glömma faktorn $\displaystyle \ln a$ .
Att tro att alla exponentialfunktioner är sin egen derivata. Det gäller bara basen $\displaystyle e$ .
Att använda potensregeln och skriva $\displaystyle D(2^x)=x\cdot2^{x-1}$ .
Att räkna med $\displaystyle \log$ (tiologaritmen) i stället för $\displaystyle \ln$ i derivatan.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra derivatan av a upphöjt till x

Viktigt att tänka på

Lär dig regeln $\displaystyle D(a^x)=a^x\ln a$ .
Koppla regeln till $\displaystyle e^x$ genom omskrivningen $\displaystyle a^x=e^{x\ln a}$ .
Kontrollera tecknet: bas under 1 ger negativ derivata.
Skriv om $\displaystyle a^{t/5}$ som $\displaystyle (a^{1/5})^t$ innan du deriverar.

Testa dig själv1/3

Derivera $\displaystyle f(x)=7^x$ .

Testa att du förstått

Träna uppgifter i derivata för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här