Kapitel 4.2.1: System av olikheter | Matematik 3

Bakgrund

Ett system av olikheter beskriver flera villkor som ska gälla samtidigt, till exempel att en fabrik har begränsad arbetstid och begränsat material. Alla punkter som uppfyller villkoren bildar ett område i koordinatsystemet. I linjär optimering kallas det det tillåtna området, och där letar man efter den bästa lösningen.

Teori

1. En olikhet beskriver ett halvplan

Linjen $\displaystyle y=kx+m$ delar planet i två halvor. Olikheten $\displaystyle y\ge kx+m$ beskriver linjen och halvplanet ovanför, och $\displaystyle y\le kx+m$ linjen och halvplanet under.

Skuggningsregel

Lös ut $\displaystyle y$ först. Om du dividerar med ett negativt tal byter olikhetstecknet riktning. Är du osäker, testa en punkt, till exempel origo, och se om den uppfyller olikheten.

2. Ett system ger ett gemensamt område

Lösningen till ett system är de punkter som ligger i alla halvplan samtidigt. Till exempel:

\begin{cases}2x+\nobreak y\ge\nobreak 6\\ x-\nobreak y\le\nobreak 1\\ x\ge\nobreak 0,\ \allowbreak y\ge\nobreak 0\end{cases}

Rita varje randlinje.
Bestäm vilken sida av varje linje som gäller.
Området där alla villkor gäller är lösningen.

3. Linjär optimering

En linjär målfunktion, till exempel $\displaystyle z=3x+2y$ , ska bli så stor eller liten som möjligt i det tillåtna området. Om området är begränsat finns det bästa värdet i en hörnpunkt.

\max z=\nobreak 3x+\nobreak 2y\quad\text{då}\quad\begin{cases}2x+\nobreak y\le\nobreak 10\\ x+\nobreak 2y\le\nobreak 8\\ x\ge\nobreak 0,\ \allowbreak y\ge\nobreak 0\end{cases}

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Beskriv ett område

Uppgift: Rita området som uppfyller $\displaystyle y\ge2x-2$ , $\displaystyle y\le-x+4$ , $\displaystyle x\ge0$ och $\displaystyle y\ge0$ , och bestäm hörnpunkterna.

Exempel 2: Ett obegränsat område

Uppgift: Beskriv området som uppfyller $\displaystyle 2x+y\ge6$ , $\displaystyle x-y\le1$ , $\displaystyle x\ge0$ och $\displaystyle y\ge0$ .

Exempel 3: Största värdet

Uppgift: Maximera $\displaystyle z=3x+2y$ då $\displaystyle 2x+y\le10$ , $\displaystyle x+2y\le8$ , $\displaystyle x\ge0$ och $\displaystyle y\ge0$ .

Interaktiva funktioner

Ligger punkten i området?

Systemet från exempel 1: $\displaystyle y\ge2x-2$ , $\displaystyle y\le-x+4$ , $\displaystyle x\ge0$ , $\displaystyle y\ge0$ .

$\displaystyle x=1$

$\displaystyle y=1$

$\displaystyle y\ge2x-2$ : $\displaystyle 1\ge0$ är uppfyllt.
$\displaystyle y\le-x+4$ : $\displaystyle 1\le3$ är uppfyllt.
$\displaystyle x\ge0$ : $\displaystyle 1\ge0$ är uppfyllt.
$\displaystyle y\ge0$ : $\displaystyle 1\ge0$ är uppfyllt.

I området

Punkten $\displaystyle (1;\ 1)$ uppfyller alla villkor.

Området och den valda punkten

Lodrät axel: y

−1012345−10123456

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=2x-2$
Streckad: $\displaystyle y=-x+4$

Skuggat område från $\displaystyle x=0$ till $\displaystyle x=2$ .

Markerade punkter (ungefär):

Vald punkt: (1; 1)

Hörnpunktsmetoden

Området från exempel 3. Ändra målfunktionen $\displaystyle z=c_1x+c_2y$ .

Koefficient för x: $\displaystyle c_1=3$

Koefficient för y: $\displaystyle c_2=2$

Hörn	Koordinater	Värde
O	$\displaystyle (0;\ 0)$	$\displaystyle z=0$
A	$\displaystyle (5;\ 0)$	$\displaystyle z=15$
B (bäst)	$\displaystyle (4;\ 2)$	$\displaystyle z=16$
C	$\displaystyle (0;\ 4)$	$\displaystyle z=8$

Det största värdet är $\displaystyle z=16$ i hörn B. Om två hörn ger samma värde är alla punkter på kanten mellan dem lika bra.

Vanliga misstag

Att glömma byta olikhetstecken när man multiplicerar eller dividerar med ett negativt tal.
Att skugga fel sida av en linje. Testa en punkt för att kontrollera.
Att missa en hörnpunkt.
Att glömma villkoren $\displaystyle x\ge0$ och $\displaystyle y\ge0$ .

Vanliga frågor

Tips för att bemästra delkapitlet

Viktigt att tänka på

Rita alltid olikheterna innan du räknar vidare.
Använd hörnpunktsmetoden systematiskt och gör en tabell.
Kontrollera svaret med en testpunkt.
Om variablerna är antal saker måste svaret vara heltal och inte negativt.

Testa dig själv: System av olikheter1/3

Vilket område beskriver $\displaystyle y\le2x+3$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i geometri för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här