Kapitel 4.2.2: Hur ritar man system av olikheter? | Matematik 3

Bakgrund

För att lösa ett optimeringsproblem grafiskt behöver du kunna rita det tillåtna området. Det är de punkter som uppfyller alla villkor samtidigt. Här går vi igenom metoden steg för steg: randlinjer, testpunkter och skuggning.

Teori

Steg för att rita ett system av olikheter

\begin{cases}y\ge\nobreak x+\nobreak 1\\ y\le\nobreak -\nobreak 2x+\nobreak 6\\ x\ge\nobreak 0,\ \allowbreak y\ge\nobreak 0\end{cases}

Byt olikhetstecknet mot likhetstecken och rita varje randlinje.
Välj en testpunkt som inte ligger på linjen, ofta origo $\displaystyle (0;\ 0)$ .
Om testpunkten uppfyller olikheten gäller den sida där punkten ligger. Annars gäller den andra sidan.
Det område där alla villkor gäller samtidigt är lösningen.

Heldragen eller streckad linje?

Använd heldragen linje för $\displaystyle \le$ och $\displaystyle \ge$ , eftersom punkterna på linjen hör till lösningen. Använd streckad linje för $\displaystyle <$ och $\displaystyle >$ .

Obs: i diagrammen på den här sidan används olika linjetyper bara för att skilja linjerna åt. Alla olikheter här har tecknen $\displaystyle \le$ eller $\displaystyle \ge$ , så alla randlinjer hör till området.

Från området till optimering

När området är ritat bestämmer du hörnpunkterna. Där beräknar du målfunktionen och väljer det bästa värdet.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Rita ett område

Uppgift: Rita området som uppfyller $\displaystyle y\ge x+1$ , $\displaystyle y\le-2x+6$ , $\displaystyle x\ge0$ och $\displaystyle y\ge0$ .

Exempel 2: Flera bästa lösningar

Uppgift: Maximera $\displaystyle Z=30x+20y$ då $\displaystyle x+y\le100$ , $\displaystyle 3x+2y\le240$ , $\displaystyle x\ge0$ och $\displaystyle y\ge0$ .

Interaktiva funktioner

Testa en punkt

Systemet från exempel 1.

$\displaystyle x=1$

$\displaystyle y=3$

$\displaystyle y\ge x+1$ : uppfyllt
$\displaystyle y\le-2x+6$ : uppfyllt
$\displaystyle x\ge0$ : uppfyllt
$\displaystyle y\ge0$ : uppfyllt

I området

Punkten $\displaystyle (1;\ 3)$ uppfyller alla villkor.

Området och den valda punkten

Lodrät axel: y

−101234−101234567

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=x+1$
Streckad: $\displaystyle y=-2x+6$

Skuggat område från $\displaystyle x=0$ till $\displaystyle x=1{,}667$ .

Markerade punkter (ungefär):

Vald punkt: (1; 3)

Hörnen i exempel 2

Målfunktionen är $\displaystyle Z=30x+20y$ .

Hörn	Koordinater	Värde
O	$\displaystyle (0;\ 0)$	$\displaystyle Z=0$
A	$\displaystyle (0;\ 100)$	$\displaystyle Z=2000$
B (bäst)	$\displaystyle (40;\ 60)$	$\displaystyle Z=2400$
C (bäst)	$\displaystyle (80;\ 0)$	$\displaystyle Z=2400$

Vanliga misstag

Att rita en heldragen linje för en sträng olikhet, eller tvärtom.
Att glömma testa alla hörnpunkter.
Att vända olikhetstecknet fel vid omskrivningar.
Att inte tolka svaret i sammanhanget, till exempel som antal tillverkade varor.

Vanliga frågor

Testa dig själv: Rita system av olikheter1/3

Hur avgör du vilken sida av linjen som hör till $\displaystyle y>x+1$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i geometri för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här