Kapitel 4.1.1: Allt om geometriska talföljder | Matematik 3

Bakgrund

En geometrisk talföljd beskriver något som växer eller minskar med samma procent i varje steg, till exempel ett sparkapital eller en befolkning. Här lär du dig formeln för en enskild term, summaformeln och hur sådana modeller kan användas tillsammans med linjär optimering.

Teori

1. Formeln för term nummer n

a_n=a_1\cdot\nobreak k^{n-\nobreak 1}

Här är $\displaystyle a_1$ första termen, $\displaystyle k$ kvoten och $\displaystyle n$ termens nummer. Exponenten är $\displaystyle n-1$ , eftersom den första termen inte har multiplicerats med $\displaystyle k$ någon gång.

Exempel

Följden 2, 6, 18, 54 har $\displaystyle a_1=2$ och $\displaystyle k=3$ . Den fjärde termen är $\displaystyle a_4=2\cdot3^3=54$ .

2. Summan av de n första termerna

S_n=\dfrac{a_1(k^n-\nobreak 1)}{k-\nobreak 1},\quad\allowbreak k\neq\nobreak 1

Formeln fås genom att skriva $\displaystyle S_n$ och $\displaystyle k\cdot S_n$ under varandra och subtrahera. Då tar alla termer utom den första och den sista ut varandra. Om $\displaystyle k=1$ är $\displaystyle S_n=n\cdot a_1$ .

3. Oändlig summa

Om $\displaystyle -1<k<1$ blir termerna allt mindre och summan närmar sig $\displaystyle \dfrac{a_1}{1-k}$ .

4. Koppling till linjär optimering

I ett optimeringsproblem ska en målfunktion, till exempel en vinst, bli så stor som möjligt under villkor. Det bästa värdet finns i en hörnpunkt av det tillåtna området. Geometriska följder kan bestämma koefficienterna, till exempel när priser ökar med en fast procent per år.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: En term långt fram

Uppgift: Bestäm den åttonde termen i följden 2, 6, 18, 54, ...

Exempel 2: Summan av fem termer

Uppgift: Beräkna $\displaystyle 2+6+18+54+162$ .

Exempel 3: Kapital som växer

Uppgift: Ett kapital på 10 000 kr växer med 8 procent per år. Hur stort är det efter 10 år?

Exempel 4: Optimering med ett överflödigt villkor

Uppgift: Maximera $\displaystyle Z=30x+20y$ när $\displaystyle 4x+2y\le40$ , $\displaystyle 3x+y\le30$ , $\displaystyle x\ge0$ och $\displaystyle y\ge0$ .

Interaktiva funktioner

Termer och summa

Välj första term, kvot och antal termer.

Första term: $\displaystyle a_1=2$

Kvot: $\displaystyle k=1{,}5$

Antal termer: $\displaystyle n=5$

Termerna: $\displaystyle 2,\ 3,\ 4{,}5,\ 6{,}75,\ 10{,}13$

a_{5}=2\cdot\nobreak 1{,}5^{4}\approx\nobreak 10{,}13,\quad\allowbreak S_{5}\approx\nobreak 26{,}38

Termerna i följden

Termer

Lodrät axel: term

01234560123456789101112

Vågrät axel: termens nummer n

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Testa en punkt i optimeringsproblemet

Är punkten tillåten? Villkoren är $\displaystyle 4x+2y\le40$ och $\displaystyle 3x+y\le30$ .

Antal av produkt A: $\displaystyle x=8$

Antal av produkt B: $\displaystyle y=4$

Arbetstid: $\displaystyle 4\cdot8+2\cdot4=40$ , uppfyllt.
Material: $\displaystyle 3\cdot8+4=28$ , uppfyllt.

Tillåten punkt

Målfunktionen är $\displaystyle Z=320$ . Jämför med det bästa värdet 400.

Vanliga misstag

Att blanda ihop aritmetisk och geometrisk talföljd.
Att använda exponenten $\displaystyle n$ i stället för $\displaystyle n-1$ i termformeln.
Att glömma kontrollera kvoten innan en oändlig summa beräknas.
Att glömma villkoren $\displaystyle x\ge0$ och $\displaystyle y\ge0$ i optimeringsproblem.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra området

Viktigt att tänka på

Bestäm kvoten tidigt genom att dela en term med den föregående.
Skilj på formeln för en term och formeln för summan.
Kontrollera specialfallen $\displaystyle k=1$ och $\displaystyle k$ utanför intervallet från $\displaystyle -1$ till 1.
Rita alltid villkoren i optimeringsproblem med två variabler.

Testa dig själv: Geometriska talföljder1/3

En geometrisk talföljd har $\displaystyle a_1=5$ och $\displaystyle k=2$ . Vad är $\displaystyle a_5$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i geometri för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här