Kapitel 3.1.7: Största och minsta värdet | Matematik 3

Bakgrund

I många problem är bara vissa x-värden möjliga, till exempel en längd mellan 0 och 10 cm. Då söker man funktionens största och minsta värde på ett intervall. Svaret kan ligga i en stationär punkt, men också i en ändpunkt av intervallet.

Teori

1. Derivatans tecken

$\displaystyle f'(x)>0$ : funktionen växer.
$\displaystyle f'(x)<0$ : funktionen avtar.
$\displaystyle f'(x)=0$ : vågrät tangent, en möjlig extrempunkt.

2. Lokala och globala extremvärden

En lokal maximipunkt är högst jämfört med punkterna runt omkring. Det största värdet i hela intervallet kallas globalt maximum. Det behöver inte vara en lokal maximipunkt, utan kan ligga i en ändpunkt.

3. Metod för slutet intervall

Så hittar du största och minsta värde

Derivera och lös $\displaystyle f'(x)=0$ .
Behåll bara lösningar som ligger i intervallet.
Beräkna funktionsvärdet i dessa punkter och i båda ändpunkterna.
Det största av värdena är största värdet, det minsta är minsta värdet.

Varför räcker det? Mellan dessa punkter växer eller avtar funktionen hela tiden. Då kan det största och minsta värdet inte ligga någon annanstans.

4. Samband med derivatans graf

Där derivatans graf skär x-axeln finns stationära punkter. Där derivatans graf har en extrempunkt byter funktionen böjning. Det hjälper när du skissar grafen och kontrollerar ditt svar.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Värdet nås på flera ställen

Uppgift: Bestäm största och minsta värdet av $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+2$ när $\displaystyle -1\le x\le3$ .

Exempel 2: En stationär punkt ligger utanför

Uppgift: Bestäm största och minsta värdet av $\displaystyle g(x)=x^3-3x^2-9x+5$ när $\displaystyle 0\le x\le4$ .

Exempel 3: Ingen stationär punkt i intervallet

Uppgift: Bestäm största och minsta värdet av $\displaystyle f(x)=x^2$ när $\displaystyle 1\le x\le3$ .

Exempel 4: Låda med begränsade mått

Uppgift: Volymen av en låda är $\displaystyle V(x)=x(20-2x)^2\ \text{cm}^3$ , där $\displaystyle 0\le x\le10$ . Bestäm största volymen.

Interaktiva funktioner

Välj intervall och hitta största och minsta värde

Funktionen är $\displaystyle g(x)=x^3-3x^2-9x+5$ med stationära punkter i $\displaystyle x=-1$ och $\displaystyle x=3$ .

Vänster ändpunkt: $\displaystyle a=0$

Höger ändpunkt: $\displaystyle b=4$

Intervallet är $\displaystyle 0\le x\le4$ . Punkter att undersöka:

Punkt	Typ	Funktionsvärde
$\displaystyle x=0$	Ändpunkt	$\displaystyle g(0)=5$
$\displaystyle x=3$	Stationär punkt	$\displaystyle g(3)=-22$
$\displaystyle x=4$	Ändpunkt	$\displaystyle g(4)=-15$

Största värdet är $\displaystyle 5$ och minsta värdet är $\displaystyle -22$ .

Grafen på det valda intervallet

Lodrät axel: y

−3−2−1012345−30−20−10010

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 10.

Heldragen: $\displaystyle g(x)=x^3-3x^2-9x+5$

Lodrät streckad hjälplinje: $\displaystyle x=0$ .

Lodrät streckad hjälplinje: $\displaystyle x=4$ .

Markerade punkter (ungefär):

Ändpunkt: (0; 5)
Stationär punkt: (3; −22)
Ändpunkt: (4; −15)

Lådans volym

Volymen är $\displaystyle V(x)=x(20-2x)^2$ där $\displaystyle 0\le x\le10$ .

Kvadratens sida: $\displaystyle x=3\ \text{cm}$

V(3)=\nobreak 588\ \text{cm}^3

I ändpunkterna är volymen 0. Den största volymen, ungefär $\displaystyle 593\ \text{cm}^3$ , fås när $\displaystyle x\approx3{,}33$ .

Volymen som funktion av x

Lodrät axel: y

036100200400600

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 200.

Heldragen: $\displaystyle V(x)=x(20-2x)^2$

Markerade punkter (ungefär):

Valt x: (3; 588)
Största värde: (3,3333; 592,593)

Vanliga misstag

Att glömma jämföra med ändpunkterna.
Att ta med stationära punkter som ligger utanför intervallet.
Att svara med x-värdet när frågan gäller funktionsvärdet, eller tvärtom.
Att tro att en lokal maximipunkt alltid ger det största värdet.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra området

Checklista

Skriv upp intervallet tydligt innan du börjar.
Stryk stationära punkter som ligger utanför intervallet.
Gör en tabell med alla kandidater och deras funktionsvärden.
Svara med både värdet och var det antas.

Testa dig själv1/3

Vilka punkter måste du undersöka för att hitta största värdet av $\displaystyle f$ på intervallet $\displaystyle a\le x\le b$ ?

Fördjupning (frivillig)

Om intervallet är öppet, till exempel $\displaystyle 0<x<10$ , är ändpunkterna inte med. Då kan det hända att funktionen saknar största eller minsta värde. Till exempel har $\displaystyle f(x)=x$ inget största värde när $\displaystyle 0<x<1$ , eftersom den kommer godtyckligt nära 1 utan att nå dit.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i integraler för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här