Problemlösning inom derivata

Lösning

1. Steg 1. Skärning med y-axeln.

   $$f(0)=\nobreak 5$$

2. Steg 2. Derivera och faktorisera.

   $$f'(x)=3x^2-\nobreak 6x-\nobreak 9=3(x+\nobreak 1)(x-\nobreak 3)$$

3. Steg 3. Derivatan är 0 när $\displaystyle x=-1$ och $\displaystyle x=3$. Teckentabellen visar maximum respektive minimum.

   $$f(-\nobreak 1)=\nobreak 10,\quad\allowbreak f(3)=\nobreak -\nobreak 22$$

4. Steg 4. Andraderivatan.

   $$f''(x)=\nobreak 6x-\nobreak 6=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ x=\nobreak 1,\quad\allowbreak f(1)=\nobreak -\nobreak 6$$

Svar: Grafen skär y-axeln i $\displaystyle (0;\ 5)$. Maximipunkt $\displaystyle (-1;\ 10)$, minimipunkt $\displaystyle (3;\ -22)$ och inflexionspunkt $\displaystyle (1;\ -6)$. Funktionen växer när $\displaystyle x\le-1$ och $\displaystyle x\ge3$ och avtar däremellan.

Lösning

1. Steg 1. Ställ upp volymen. Måtten måste vara positiva, så $\displaystyle 0<x<15$.

   $$V(x)=x(30-\nobreak 2x)(40-\nobreak 2x)=4x^3-\nobreak 140x^2+\nobreak 1200x$$

2. Steg 2. Derivera och sätt derivatan lika med 0. Dela med 4.

   $$V'(x)=12x^2-\nobreak 280x+\nobreak 1200=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ 3x^2-\nobreak 70x+\nobreak 300=\nobreak 0$$

3. Steg 3. Lösningsformeln ger två lösningar. Bara den första ligger i intervallet.

   $$x=\dfrac{70\pm\nobreak \sqrt{1300}}{6}:\quad x\approx\nobreak 5{,}66\ \text{eller}\ x\approx\nobreak 17{,}68$$

4. Steg 4. Kontrollera med andraderivatan och beräkna volymen.

   $$V''(5{,}66)=24\cdot\nobreak 5{,}66-\nobreak 280\approx\nobreak -\nobreak 144<\nobreak 0,\quad\allowbreak V(5{,}66)\approx\nobreak 3032$$

Svar: Största volymen är ungefär $\displaystyle 3030\ \text{cm}^3$, när $\displaystyle x\approx5{,}66\ \text{cm}$.

Lösning

1. Steg 1. Faktorisera funktionen. Den är 0 i $\displaystyle x=0$ och $\displaystyle x=2$ och aldrig negativ.

   $$f(x)=x^2(x^2-\nobreak 4x+\nobreak 4)=x^2(x-\nobreak 2)^2$$

2. Steg 2. Derivera och faktorisera.

   $$f'(x)=4x^3-\nobreak 12x^2+\nobreak 8x=4x(x-\nobreak 1)(x-\nobreak 2)$$

3. Steg 3. Andraderivatan avgör typen av stationär punkt.

   $$f''(x)=12x^2-\nobreak 24x+\nobreak 8:\quad f''(0)=\nobreak 8,\ \allowbreak f''(1)=\nobreak -\nobreak 4,\ \allowbreak f''(2)=\nobreak 8$$

4. Steg 4. Inflexionspunkter där $\displaystyle f''(x)=0$. Dela med 4 och använd pq-formeln.

   $$3x^2-\nobreak 6x+\nobreak 2=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ x=1\pm\nobreak \dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx1\pm\nobreak 0{,}58$$

Svar: Minimipunkter $\displaystyle (0;\ 0)$ och $\displaystyle (2;\ 0)$, maximipunkt $\displaystyle (1;\ 1)$ och inflexionspunkter vid $\displaystyle x\approx0{,}42$ och $\displaystyle x\approx1{,}58$. Grafen går mot oändligheten åt båda håll.

Lösning

1. Steg 1. Derivera båda leden med avseende på $\displaystyle x$. Kedjeregeln ger att derivatan av $\displaystyle y^2$ är $\displaystyle 2y\cdot y'$.

   $$2x+\nobreak 2y\cdot\nobreak y'=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ y'=-\nobreak \dfrac{x}{y}$$

Svar: I till exempel punkten $\displaystyle (3;\ 4)$ är lutningen $\displaystyle -\frac{3}{4}$.

Lösning

1. Steg 1. Insättning ger $\displaystyle \frac{0}{0}$. L'Hôpitals regel säger att man då kan derivera täljare och nämnare var för sig.

   $$\lim_{x\to\nobreak 0}\dfrac{\sin x}{x}=\lim_{x\to\nobreak 0}\dfrac{\cos x}{1}=\nobreak 1$$

Svar: Gränsvärdet är 1.

Lösning

1. Steg 1. Alla derivator av $\displaystyle e^x$ är $\displaystyle e^x$, som är 1 när $\displaystyle x=0$. Formeln för Taylorpolynom ger

   $$P_2(x)=1+\nobreak x+\nobreak \dfrac{x^2}{2}$$

Svar: Till exempel är $\displaystyle P_2(0{,}5)=1{,}625$, medan $\displaystyle e^{0{,}5}\approx1{,}649$.