Kapitel 3.1.6: Derivatans graf | Matematik 3

Bakgrund

Grafen till derivatan visar lutningen hos $\displaystyle f$ i varje punkt. Om du kan läsa den grafen kan du snabbt se var $\displaystyle f$ växer, avtar, har extrempunkter och byter böjning, även när du inte har någon formel.

Teori

1. Läs av derivatans graf

Höjden på derivatans graf i en punkt är lutningen på grafen till $\displaystyle f$ i samma punkt.

Derivatans graf ovanför x-axeln: $\displaystyle f'(x)>0$ , så $\displaystyle f$ växer.
Derivatans graf under x-axeln: $\displaystyle f'(x)<0$ , så $\displaystyle f$ avtar.
Derivatans graf skär eller nuddar x-axeln: $\displaystyle f'(x)=0$ , så $\displaystyle f$ har vågrät tangent.

Observation

Där derivatans graf skär y-axeln kan du läsa av $\displaystyle f'(0)$ , alltså lutningen hos $\displaystyle f$ i punkten där $\displaystyle x=0$ .

2. Extrempunkter och terrasspunkter

Maximipunkt hos $\displaystyle f$ : derivatans graf går från ovanför till under x-axeln.
Minimipunkt hos $\displaystyle f$ : derivatans graf går från under till ovanför x-axeln.
Terrasspunkt hos $\displaystyle f$ : derivatans graf nuddar x-axeln men stannar på samma sida.

3. Böjning och inflexionspunkter

Andraderivatan är lutningen hos derivatans graf. Där derivatans graf stiger böjer $\displaystyle f$ uppåt, och där den sjunker böjer $\displaystyle f$ nedåt. En maximi- eller minimipunkt på derivatans graf ger alltså en inflexionspunkt hos $\displaystyle f$ .

4. Sammanfattning av sambanden

Nollställen hos $\displaystyle f'$ ger möjliga extrempunkter hos $\displaystyle f$ .
Extrempunkter hos $\displaystyle f'$ ger inflexionspunkter hos $\displaystyle f$ .
Ett y-värde på derivatans graf är en lutning hos $\displaystyle f$ .

5. Tre grafer i samma bild

För $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+2$ visas funktionen (heldragen), derivatan $\displaystyle f'(x)=3x^2-6x$ (streckad) och andraderivatan $\displaystyle f''(x)=6x-6$ (prickad).

Funktion, derivata och andraderivata

Lodrät axel: y

−10123−6−5−4−3−2−1012345678

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+2$
Streckad: $\displaystyle f'(x)=3x^2-6x$
Prickad: $\displaystyle f''(x)=6x-6$

Lodrät streckad hjälplinje: $\displaystyle x=0$ .

Lodrät streckad hjälplinje: $\displaystyle x=1$ .

Lodrät streckad hjälplinje: $\displaystyle x=2$ .

Markerade punkter (ungefär):

Maximipunkt för f: (0; 2)
Inflexionspunkt för f: (1; 0)
Minimipunkt för f: (2; −2)

De lodräta hjälplinjerna visar att maximipunkten och minimipunkten ligger där derivatans graf skär x-axeln, och att inflexionspunkten ligger där derivatans graf har sin lägsta punkt.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Från derivatans graf till funktionens egenskaper

Uppgift: Derivatan till en funktion är $\displaystyle f'(x)=3x^2-6x$ . Var växer och avtar $\displaystyle f$ , och vilka extrempunkter har den?

Lösning

Steg 1. Faktorisera derivatan.
$f'(x)=\nobreak 3x(x-\nobreak 2)$
Steg 2. Derivatans graf är en parabel som skär x-axeln i $\displaystyle x=0$ och $\displaystyle x=2$ . Den öppnar sig uppåt, så den ligger under x-axeln mellan nollställena.

Svar: $\displaystyle f$ växer när $\displaystyle x\le0$ och $\displaystyle x\ge2$ och avtar när $\displaystyle 0\le x\le2$ . Maximipunkt i $\displaystyle x=0$ och minimipunkt i $\displaystyle x=2$ .

Teckentabell

$\displaystyle x$	$\displaystyle x<0$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 0<x<2$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle x>2$
$\displaystyle f'(x)$	$\displaystyle +$ positiv	$\displaystyle 0$ noll	$\displaystyle -$ negativ	$\displaystyle 0$ noll	$\displaystyle +$ positiv
$\displaystyle f(x)$	växer	maximum	avtar	minimum	växer

$\displaystyle x<0$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle +$ positiv
- $\displaystyle f(x)$ : växer
$\displaystyle 0$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle 0$ noll
- $\displaystyle f(x)$ : maximum
$\displaystyle 0<x<2$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle -$ negativ
- $\displaystyle f(x)$ : avtar
$\displaystyle 2$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle 0$ noll
- $\displaystyle f(x)$ : minimum
$\displaystyle x>2$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle +$ positiv
- $\displaystyle f(x)$ : växer

Exempel 2: Böjning

Uppgift: Bestäm var $\displaystyle f(x)=x^4-4x^3+2$ böjer uppåt och nedåt, och ange inflexionspunkterna.

Exempel 3: Skissa f när bara derivatan är känd

Uppgift: Om en funktion vet man bara att $\displaystyle f'(x)=x^2-1$ . Beskriv hur grafen till $\displaystyle f$ ser ut.

Interaktiva funktioner

Funktionen och derivatan sida vid sida

Samma x-värde markeras i båda graferna. Funktionen är $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+2$ .

Punkt: $\displaystyle x=1$

f(1)=\nobreak 0,\quad\allowbreak f'(1)=\nobreak -\nobreak 3

Derivatans graf ligger under x-axeln: $\displaystyle f$ avtar här.

Grafen till f med tangent

Lodrät axel: y

−10123−4−3−2−101234

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+2$
Streckad: Tangenten

Markerade punkter (ungefär):

Punkt på f: (1; 0)

Grafen till derivatan

Lodrät axel: y

−10123−4−3−2−1012345678910

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle f'(x)=3x^2-6x$

Markerade punkter (ungefär):

Punkt på derivatans graf: (1; −3)

Tangentens lutning i den övre grafen är lika med höjden på den markerade punkten i den nedre grafen.

Böjning hos en fjärdegradsfunktion

Funktionen är $\displaystyle h(x)=x^4-4x^3+2$ med $\displaystyle h''(x)=12x^2-24x$ .

Punkt: $\displaystyle x=1$

h''(1)=\nobreak -\nobreak 12

Andraderivatan är negativ: grafen böjer nedåt.

Grafen med inflexionspunkterna

Lodrät axel: y

−101234−30−20−10010

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 10.

Heldragen: $\displaystyle h(x)=x^4-4x^3+2$

Markerade punkter (ungefär):

Inflexionspunkt: (0; 2)
Inflexionspunkt: (2; −14)
Vald punkt: (1; −1)

Vanliga misstag

Att förväxla nollställen hos derivatan med nollställen hos funktionen.
Att läsa derivatans graf som om den vore grafen till $\displaystyle f$ .
Att glömma kontrollera teckenbytet vid extrempunkter.
Att missa terrasspunkter där derivatans graf bara nuddar x-axeln.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra analys av derivatans graf

Praktisk checklista

Fråga dig alltid: är det grafen till funktionen eller till derivatan?
Markera var derivatans graf skär x-axeln och om den byter sida.
Markera derivatans extrempunkter. Där har funktionen inflexionspunkter.
Skissa funktionen och derivatan under varandra med samma x-skala.

Testa dig själv1/3

Derivatans graf ligger under x-axeln när $\displaystyle 1<x<4$ . Vad gäller för $\displaystyle f$ där?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i integraler för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Bakgrund

Teori

1. Läs av derivatans graf

Observation

2. Extrempunkter och terrasspunkter

3. Böjning och inflexionspunkter

4. Sammanfattning av sambanden

5. Tre grafer i samma bild

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Från derivatans graf till funktionens egenskaper

Exempel 2: Böjning

Exempel 3: Skissa f när bara derivatan är känd

Interaktiva funktioner

Funktionen och derivatan sida vid sida

Böjning hos en fjärdegradsfunktion

Vanliga misstag

Vanliga frågor

Hur ser jag en terrasspunkt i derivatans graf?

Vad visar derivatans skärning med y-axeln?

Kan en funktion ha oändligt många extrempunkter?

Påverkar skalan på axlarna tolkningen?

Vad säger Rolles sats?

Tips för att bemästra analys av derivatans graf

Praktisk checklista

Testa dig själv1/3

Testa att du förstått