Cosinussatsen

Lösning

1. Steg 1. Två sidor och vinkeln mellan dem är kända. Använd cosinussatsen för sidan mittemot vinkeln $\displaystyle C$.

   $$c^2=a^2+\nobreak b^2-\nobreak 2ab\cos C$$

2. Steg 2. Sätt in värdena. Exakt gäller $\displaystyle \cos 60^\circ=\frac12$.

   $$c^2=8^2+\nobreak 6^2-\nobreak 2\cdot\nobreak 8\cdot\nobreak 6\cdot\nobreak \dfrac12=\nobreak 64+\nobreak 36-\nobreak 48=\nobreak 52$$

3. Steg 3. Dra roten ur. Sidan är positiv, så bara den positiva roten är aktuell.

   $$c=\sqrt{52}\approx\nobreak 7{,}21\text{ cm}$$

Svar: $\displaystyle c\approx7{,}2\text{ cm}$. Rimlighetskontroll: $\displaystyle c$ ligger mellan $\displaystyle 8-6=2$ och $\displaystyle 8+6=14$, som triangelolikheten kräver.

Lösning

1. Steg 1. Kontrollera först att sidorna kan bilda en triangel: summan av de två kortaste sidorna måste vara större än den längsta.

   $$5+\nobreak 7=\nobreak 12>\nobreak 9$$

2. Steg 2. Lös ut $\displaystyle \cos C$ ur cosinussatsen och sätt in sidorna.

   $$\cos C=\dfrac{a^2+\nobreak b^2-\nobreak c^2}{2ab}=\dfrac{25+\nobreak 49-\nobreak 81}{2\cdot\nobreak 5\cdot\nobreak 7}=\dfrac{-\nobreak 7}{70}=\nobreak -\nobreak 0{,}1$$

3. Steg 3. Använd $\displaystyle \cos^{-1}$ på räknaren i gradläge. Ett negativt cosinusvärde betyder att vinkeln är trubbig.

   $$C=\cos^{-\nobreak 1}(-\nobreak 0{,}1)\approx95{,}7^\circ$$

Svar: $\displaystyle C\approx95{,}7^\circ$. Den största vinkeln ligger mittemot den längsta sidan, vilket stämmer.

Lösning

1. Steg 1. Låt hamnen vara hörnet $\displaystyle C$. Då är $\displaystyle a=15\text{ km}$, $\displaystyle b=22\text{ km}$ och $\displaystyle C=120^\circ$. Det sökta avståndet är sidan $\displaystyle c$.

2. Steg 2. Sätt in i cosinussatsen. Eftersom $\displaystyle \cos120^\circ=-\frac12$ blir sista termen positiv.

   $$c^2=15^2+22^2-2\cdot\nobreak 15\cdot\nobreak 22\cdot\nobreak \left(-\dfrac12\right)=225+\nobreak 484+\nobreak 330=\nobreak 1039$$

3. Steg 3. Dra roten ur.

   $$c=\sqrt{1039}\approx\nobreak 32{,}2\text{ km}$$

Svar: Båtarna är ungefär 32 km från varandra. Avståndet är längre än med en rät vinkel ($\displaystyle \sqrt{709}\approx26{,}6$ km), eftersom vinkeln är trubbig.

Lösning

1. Steg 1. Den största vinkeln ligger mittemot den längsta sidan, 15 cm. Det räcker att undersöka den vinkeln.

2. Steg 2. Jämför kvadraten på den längsta sidan med summan av de andra kvadraterna. Enligt cosinussatsen är $\displaystyle \cos C>0$ precis när $\displaystyle c^2<a^2+b^2$.

   $$15^2=\nobreak 225\quad\text{och}\quad13^2+\nobreak 14^2=\nobreak 169+\nobreak 196=\nobreak 365$$

3. Steg 3. Eftersom $\displaystyle 225<365$ är den största vinkeln spetsig. Då är alla vinklar spetsiga. Kontroll med cosinussatsen:

   $$\cos C=\dfrac{365-\nobreak 225}{2\cdot\nobreak 13\cdot\nobreak 14}=\dfrac{140}{364}\approx\nobreak 0{,}385\ \Rightarrow\ C\approx67{,}4^\circ$$

Svar: Triangeln är spetsvinklig.

Lösning

1. Steg 1. Beräkna vinkeln mittemot den längsta sidan först.

   $$\cos C=\dfrac{4^2+\nobreak 6^2-\nobreak 7^2}{2\cdot\nobreak 4\cdot\nobreak 6}=\dfrac{3}{48}=\nobreak 0{,}0625\ \Rightarrow\ C\approx86{,}4^\circ$$

2. Steg 2. Använd cosinussatsen igen för vinkeln $\displaystyle A$. Byt plats på bokstäverna så att $\displaystyle a$ är sidan mittemot vinkeln.

   $$\cos A=\dfrac{b^2+\nobreak c^2-\nobreak a^2}{2bc}=\dfrac{36+\nobreak 49-\nobreak 16}{2\cdot\nobreak 6\cdot\nobreak 7}=\dfrac{69}{84}\ \Rightarrow\ A\approx34{,}8^\circ$$

3. Steg 3. Vinkelsumman i en triangel är $\displaystyle 180^\circ$. Använd den för den sista vinkeln.

   $$B\approx180^\circ-\nobreak 86{,}4^\circ-\nobreak 34{,}8^\circ=58{,}8^\circ$$

Svar: $\displaystyle A\approx34{,}8^\circ$, $\displaystyle B\approx58{,}8^\circ$ och $\displaystyle C\approx86{,}4^\circ$. Kontroll: den kortaste sidan ligger mittemot den minsta vinkeln.