Kapitel 1.4.5: Gränsvärde | Matematik 3

Bakgrund

Gränsvärden beskriver hur funktioner beter sig nära en punkt eller vid oändligheten. Begreppet är grunden för derivator, integraler och mycket av den fortsatta analysen i Ma3.

Teori

Definition

\lim_{x\to\nobreak a}f(x)=\nobreak L

Uttrycket läses "gränsvärdet av $\displaystyle f(x)$ när $\displaystyle x$ går mot $\displaystyle a$ är $\displaystyle L$ ". Det betyder att funktionsvärdena kommer godtyckligt nära $\displaystyle L$ när $\displaystyle x$ kommer tillräckligt nära $\displaystyle a$ . Vad som händer exakt i $\displaystyle x=a$ spelar ingen roll, funktionen behöver inte ens vara definierad där.

Fördjupning: formell definition

För varje $\displaystyle \varepsilon>0$ finns ett $\displaystyle \delta>0$ så att $\displaystyle 0<|x-a|<\delta$ medför $\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon$ . Hur nära $\displaystyle L$ man än kräver ( $\displaystyle \varepsilon$ ) kan man alltså välja ett avstånd $\displaystyle \delta$ runt $\displaystyle a$ där kravet uppfylls.

Räkneregler

Om gränsvärdena för $\displaystyle f$ och $\displaystyle g$ finns gäller:

Summa: gränsvärdet av $\displaystyle f+g$ är summan av gränsvärdena.
Produkt: gränsvärdet av $\displaystyle f\cdot g$ är produkten av gränsvärdena.
Kvot: gränsvärdet av $\displaystyle \frac fg$ är kvoten, om nämnarens gränsvärde inte är 0.
Potens: gränsvärdet av $\displaystyle f^n$ är gränsvärdet upphöjt till $\displaystyle n$ .

Typer av gränsvärden

Gränsvärden när $\displaystyle x$ går mot ett tal $\displaystyle a$ .
Ensidiga gränsvärden: från vänster, $\displaystyle x\to a^-$ , och från höger, $\displaystyle x\to a^+$ .
Oändliga gränsvärden, där funktionsvärdet växer obegränsat, till exempel vid en lodrät asymptot.
Gränsvärden när $\displaystyle x\to\infty$ eller $\displaystyle x\to-\infty$ .

Metoder

Direkt insättning, när funktionen är kontinuerlig i punkten.
Faktorisering och förkortning, när insättning ger $\displaystyle \frac00$ .
Förlängning med konjugatet, när uttrycket innehåller kvadratrötter.
Division med den högsta potensen, när $\displaystyle x\to\pm\infty$ .
Fördjupning: L'Hôpitals regel för $\displaystyle \frac00$ eller $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$ .

Standardgränsvärden (fördjupning)

$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}=1$ , som används i kapitel 2.3 för derivatan av $\displaystyle e^x$
$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac1x\right)^x=e$
$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ , när $\displaystyle x$ mäts i radianer (Ma4)
$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Direkt insättning

Uppgift: Beräkna $\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to2}(3x^2-5x+1)$ .

Exempel 2: Faktorisering

Uppgift: Beräkna $\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$ .

Exempel 3: Gränsvärde när x växer obegränsat

Uppgift: Beräkna $\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+2x-1}{x^2+5}$ .

Exempel 4: L'Hôpitals regel (fördjupning)

Uppgift: Beräkna $\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{x^2}$ .

Exempel 5: Trigonometriskt gränsvärde (fördjupning, Ma4)

Uppgift: Beräkna $\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}$ , där $\displaystyle x$ mäts i radianer.

Interaktiva funktioner

Direkt insättning

$\displaystyle f(x)=3x^2-5x+1$ när $\displaystyle x\to2$ .

$\displaystyle x=2$

f(2)\approx\nobreak 3

När $\displaystyle x$ närmar sig 2 från båda håll går $\displaystyle f(x)$ mot 3.

Faktorisering vid 0/0

$\displaystyle \dfrac{x^2-9}{x-3}$ nära $\displaystyle x=3$ .

$\displaystyle x=3{,}2$

\dfrac{x^2-\nobreak 9}{x-\nobreak 3}\approx\nobreak 6{,}2,\quad\allowbreak x+\nobreak 3=\nobreak 6{,}2

Förlängning med konjugatet

$\displaystyle \dfrac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}$ för $\displaystyle x\neq1$ , eftersom $\displaystyle x-1=(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)$ .

$\displaystyle x=1{,}2$

\dfrac{\sqrt{x}-\nobreak 1}{x-\nobreak 1}\approx\nobreak 0{,}4772,\quad\allowbreak \dfrac{1}{\sqrt{x}+\nobreak 1}\approx\nobreak 0{,}4772

Ensidiga gränsvärden

$\displaystyle f(x)=\dfrac1x$ nära $\displaystyle x=0$ .

$\displaystyle x=0{,}2$

f(0{,}2)\approx\nobreak 5

Grafen till 1/x växer obegränsat nära 0

Lodrät axel: y

−2−1012−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1012345678910

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=\dfrac1x$

Lodrät streckad hjälplinje: $\displaystyle x=0{,}0001$ .

Tolkning

Från höger växer $\displaystyle f(x)$ mot $\displaystyle +\infty$ , från vänster mot $\displaystyle -\infty$ . Ensidiga gränsvärden som inte stämmer överens betyder att gränsvärdet $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac1x$ inte existerar.

Gränsvärde när x växer

Pröva stora tal i $\displaystyle \dfrac{3x^2+2x-1}{x^2+5}$ .

Värdet på

\displaystyle x

x=\nobreak 1000\ \Rightarrow\ \text{värdet}\approx3{,}001984

För stora $\displaystyle |x|$ närmar sig uttrycket 3.

L'Hôpitals regel (fördjupning)

$\displaystyle \dfrac{e^x-1-x}{x^2}$ nära $\displaystyle x=0$ .

$\displaystyle x=0{,}2$

\begin{aligned}\dfrac{e^x-\nobreak 1-\nobreak x}{x^2}&\approx\nobreak 0{,}5351\\\dfrac{e^x-\nobreak 1}{2x}&\approx\nobreak 0{,}5535\\\dfrac{e^x}{2}&\approx\nobreak 0{,}6107\end{aligned}

Alla tre uttrycken närmar sig $\displaystyle \frac12$ när $\displaystyle x$ går mot 0.

Vanliga misstag

Inte jämföra vänster- och högersidigt gränsvärde när funktionen är styckvis eller diskontinuerlig.
Använda L'Hôpitals regel utan att först kontrollera att uttrycket är av typen $\displaystyle \frac00$ eller $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$ .
Missa förenklingar som gör beräkningen mycket enklare.
Inte identifiera obestämda former korrekt.
Anta att gränsvärde alltid existerar.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra gränsvärden

Viktigt att tänka på

Identifiera obestämd form innan du väljer metod.
Kontrollera sidogränsvärden separat när det behövs.
Memorera de viktigaste standardgränsvärdena.
Visualisera grafiskt för intuitiv förståelse.
Bryt ned komplexa uttryck med gränsvärdesregler.

Testa dig själv

Testa dig själv: Gränsvärde1/3

Vad är $\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här