Rationella uttryck

Lösning

1. Steg 1. Faktorisera täljaren med konjugatregeln och nämnaren genom att söka två tal med produkten $\displaystyle -3$ och summan $\displaystyle -2$.

   $$\dfrac{x^2-\nobreak 4}{x^2-\nobreak 2x-\nobreak 3}=\dfrac{(x+\nobreak 2)(x-\nobreak 2)}{(x-\nobreak 3)(x+\nobreak 1)}$$

2. Steg 2. Täljaren och nämnaren har inga gemensamma faktorer.

Svar: Uttrycket kan inte förenklas. Det är definierat för $\displaystyle x\neq3$ och $\displaystyle x\neq-1$.

Lösning

1. Steg 1. Gemensam nämnare är produkten av nämnarna, $\displaystyle (x-2)(x+3)$. Förläng varje bråk med den faktor som saknas.

   $$\dfrac{1\cdot\nobreak (x+\nobreak 3)}{(x-\nobreak 2)(x+\nobreak 3)}+\dfrac{2(x-\nobreak 2)}{(x-\nobreak 2)(x+\nobreak 3)}$$

2. Steg 2. Addera täljarna och förenkla.

   $$\dfrac{x+\nobreak 3+\nobreak 2x-\nobreak 4}{(x-\nobreak 2)(x+\nobreak 3)}=\dfrac{3x-\nobreak 1}{(x-\nobreak 2)(x+\nobreak 3)}$$

Svar: $\displaystyle \dfrac{3x-1}{(x-2)(x+3)}$, där $\displaystyle x\neq2$ och $\displaystyle x\neq-3$.

Lösning

1. Steg 1. Multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare. Det finns inga gemensamma faktorer att förkorta.

   $$\dfrac{(x+\nobreak 1)(x-\nobreak 3)}{(x-\nobreak 2)(x+\nobreak 4)}=\dfrac{x^2-\nobreak 2x-\nobreak 3}{x^2+\nobreak 2x-\nobreak 8}$$

Svar: $\displaystyle \dfrac{(x+1)(x-3)}{(x-2)(x+4)}$, där $\displaystyle x\neq2$ och $\displaystyle x\neq-4$.

Lösning

1. Steg 1. Att dividera med ett bråk är samma sak som att multiplicera med det inverterade bråket.

   $$\dfrac{x^2-\nobreak 1}{x+\nobreak 2}\cdot\nobreak \dfrac{x+\nobreak 3}{x-\nobreak 1}$$

2. Steg 2. Faktorisera $\displaystyle x^2-1=(x+1)(x-1)$ och förkorta faktorn $\displaystyle (x-1)$.

   $$\dfrac{(x+\nobreak 1)(x-\nobreak 1)(x+\nobreak 3)}{(x+\nobreak 2)(x-\nobreak 1)}=\dfrac{(x+\nobreak 1)(x+\nobreak 3)}{x+\nobreak 2}$$

Svar: $\displaystyle \dfrac{(x+1)(x+3)}{x+2}$, där $\displaystyle x\neq-2$, $\displaystyle x\neq-3$ och $\displaystyle x\neq1$. Villkoren kommer från de ursprungliga nämnarna och från att man inte får dividera med 0.

Lösning

1. Steg 1. Nämnaren är 0 när $\displaystyle x^2=4$. Täljaren är inte 0 i de punkterna (den blir 13 respektive 1).

   $$x=\nobreak 2\quad\text{och}\quad x=\nobreak -\nobreak 2$$

2. Steg 2. Täljare och nämnare har samma grad. Den vågräta asymptoten är kvoten av de ledande koefficienterna.

   $$y=\dfrac{2}{1}=\nobreak 2$$

Svar: Lodräta asymptoter $\displaystyle x=2$ och $\displaystyle x=-2$, vågrät asymptot $\displaystyle y=2$.

Lösning

1. Steg 1. Täljaren faktoriseras med konjugatregeln. Nämnaren är en jämn kvadrat enligt kvadreringsregeln.

   $$\dfrac{(x+\nobreak 3)(x-\nobreak 3)}{(x-\nobreak 3)^2}$$

2. Steg 2. Förkorta en faktor $\displaystyle (x-3)$.

   $$\dfrac{x+\nobreak 3}{x-\nobreak 3}$$

3. Steg 3. Nämnaren i det ursprungliga uttrycket är 0 när $\displaystyle x=3$.

Svar: $\displaystyle \dfrac{x+3}{x-3}$, definierat för alla reella $\displaystyle x\neq3$.

Lösning

1. Steg 1. Förläng till den gemensamma nämnaren $\displaystyle (x-1)(x+2)$.

   $$\dfrac{2(x+\nobreak 2)+\nobreak 3(x-\nobreak 1)}{(x-\nobreak 1)(x+\nobreak 2)}$$

2. Steg 2. Multiplicera in i täljaren och samla termer.

   $$\dfrac{2x+\nobreak 4+\nobreak 3x-\nobreak 3}{(x-\nobreak 1)(x+\nobreak 2)}=\dfrac{5x+\nobreak 1}{(x-\nobreak 1)(x+\nobreak 2)}$$

Svar: $\displaystyle \dfrac{5x+1}{(x-1)(x+2)}$, där $\displaystyle x\neq1$ och $\displaystyle x\neq-2$.

Lösning

1. Steg 1. Byt division mot multiplikation med det inverterade bråket och faktorisera alla polynom.

   $$\dfrac{(x+\nobreak 2)(x-\nobreak 2)}{x+\nobreak 2}\cdot\nobreak \dfrac{x-\nobreak 1}{(x-\nobreak 1)(x+\nobreak 1)}\cdot\nobreak \dfrac{x-\nobreak 2}{x+\nobreak 1}$$

2. Steg 2. Förkorta $\displaystyle (x+2)$ och $\displaystyle (x-1)$.

   $$\dfrac{(x-\nobreak 2)(x-\nobreak 2)}{(x+\nobreak 1)(x+\nobreak 1)}=\dfrac{(x-\nobreak 2)^2}{(x+\nobreak 1)^2}$$

Svar: $\displaystyle \dfrac{(x-2)^2}{(x+1)^2}$, där $\displaystyle x\neq\pm1$, $\displaystyle x\neq\pm2$.

Lösning

1. Steg 1. Faktorisera nämnaren. Täljaren är inte 0 vid $\displaystyle x=1$ eller $\displaystyle x=3$, så båda ger lodräta asymptoter.

   $$x^2-\nobreak 4x+\nobreak 3=(x-\nobreak 1)(x-\nobreak 3)$$

2. Steg 2. Täljare och nämnare har samma grad. Dividera de ledande koefficienterna.

   $$y=\dfrac{3}{1}=\nobreak 3$$

Svar: Lodräta asymptoter $\displaystyle x=1$ och $\displaystyle x=3$, vågrät asymptot $\displaystyle y=3$.

Lösning

1. Steg 1. Sätt in värdena. Enheten ohm skrivs $\displaystyle \Omega$.

   $$5=12\cdot\nobreak \dfrac{R_2}{1000+\nobreak R_2}$$

2. Steg 2. Multiplicera båda leden med nämnaren $\displaystyle 1000+R_2$.

   $$5(1000+\nobreak R_2)=\nobreak 12R_2\ \Leftrightarrow\ 5000+\nobreak 5R_2=\nobreak 12R_2$$

3. Steg 3. Subtrahera $\displaystyle 5R_2$ från båda leden och dividera med 7.

   $$7R_2=\nobreak 5000\ \Rightarrow\ R_2=\dfrac{5000}{7}\approx\nobreak 714$$

Svar: $\displaystyle R_2\approx714\ \Omega$.