Kapitel 1.3.1: Förkorta rationella uttryck | Matematik 3

Bakgrund

Att förkorta rationella uttryck är en central färdighet i algebra. Den används för att förenkla uttryck, lösa ekvationer, analysera funktioner och hantera gränsvärden i analys.

Teori

Ett rationellt uttryck har formen $\displaystyle \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ , där $\displaystyle Q(x)\neq 0$ . Att förkorta betyder att dividera täljare och nämnare med samma faktor. Värdet ändras inte, eftersom $\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot c}=\frac{a}{b}$ när $\displaystyle c\neq0$ .

Steg för att förkorta

Faktorisera täljare och nämnare var för sig.
Leta efter faktorer som finns i både täljaren och nämnaren.
Dividera täljare och nämnare med dessa faktorer.
Skriv det förenklade uttrycket och villkoren från den ursprungliga nämnaren.

Faktorer, inte termer

Man får bara förkorta faktorer som multipliceras. I $\displaystyle \frac{x+3}{x}$ kan $\displaystyle x$ inte strykas, eftersom $\displaystyle x$ i täljaren är en term. Prova med $\displaystyle x=1$ : $\displaystyle \frac{1+3}{1}=4$ , inte 3.

Viktiga tekniker

1. Faktorisering av polynom

Bryt ut största gemensamma faktor, till exempel $\displaystyle x^2+3x=x(x+3)$ .
Gruppera termer två och två.
Kvadreringsreglerna: $\displaystyle (a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$ .
Konjugatregeln: $\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ .
Faktorsatsen för polynom av högre grad.

2. Summa och differens av kuber

\begin{aligned}a^3+\nobreak b^3&=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\a^3-b^3&=(a-b)(a^2+ab+b^2)\end{aligned}

3. Nollställen ger faktorer

Om $\displaystyle x=r$ är ett nollställe till $\displaystyle P(x)$ är $\displaystyle (x-r)$ en faktor i polynomet.

4. Villkor för x

De x-värden som gör den ursprungliga nämnaren till 0 är förbjudna även efter förkortning. Uttrycken $\displaystyle \frac{x(x+3)}{x+3}$ och $\displaystyle x$ är lika för alla $\displaystyle x\neq-3$ , men bara det andra har ett värde vid $\displaystyle x=-3$ .

Exempel

Exempel 1: Bryt ut en gemensam faktor

Uppgift: Förenkla $\displaystyle \dfrac{x^2+3x}{x+3}$ .

Exempel 2: Faktorisera både täljare och nämnare

Uppgift: Förenkla $\displaystyle \dfrac{x^2-4}{x^2-2x-8}$ .

Exempel 3: Summa av kuber

Uppgift: Undersök om $\displaystyle \dfrac{x^3+8}{x^2-4x+4}$ kan förkortas.

Fördjupning för högre betyg

Polynomdivision används när täljarens grad är minst lika hög som nämnarens.
Partialbråksuppdelning delar upp ett rationellt uttryck i enklare bråk och används i integralkalkyl.
Rationella funktioner: förkortning visar var grafen har hål och var den har asymptoter.
Gränsvärden: förkortning används för att hantera uttryck som ger $\displaystyle \frac{0}{0}$ vid insättning.

Exempel och tillämpningar

Exempel 4: Förkortning efter gruppering

Uppgift: Förenkla $\displaystyle \dfrac{x^3-2x^2-4x+8}{x^2-4}$ .

Exempel 5: Gränsvärde med förkortning

Uppgift: Beräkna $\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$ .

Interaktiva funktioner

Förkortning i praktiken

Jämför $\displaystyle \dfrac{x^2+ax}{x+a}$ med den förkortade formen $\displaystyle x$ .

$\displaystyle a=3$

$\displaystyle x=2$

\dfrac{x^{2}+\nobreak 3x}{x+\nobreak 3}=\dfrac{x(x+\nobreak 3)}{x+\nobreak 3}=\nobreak x,\quad\allowbreak x\neq\nobreak -\nobreak 3

\text{ursprungligt}\approx\nobreak 2,\quad\allowbreak \text{förkortat}=\nobreak 2

Hål i grafen

Undersök $\displaystyle \dfrac{x^2-4}{x-2}$ , som är lika med $\displaystyle x+2$ utom vid $\displaystyle x=2$ .

$\displaystyle x=0$

\dfrac{x^2-\nobreak 4}{x-\nobreak 2}=\nobreak 2

Gränsvärde genom förkortning

Uttrycket $\displaystyle \dfrac{x^2-a^2}{x-a}$ för x nära $\displaystyle a$ . Talet $\displaystyle h$ är avståndet $\displaystyle x-a$ .

$\displaystyle a=2$

Avstånd till a: $\displaystyle h=0{,}2$

x=\nobreak a+\nobreak h=\nobreak 2{,}2

\dfrac{x^2-\nobreak a^2}{x-\nobreak a}\approx\nobreak 4{,}2,\quad\allowbreak x+\nobreak a=\nobreak 4{,}2

Tolkning

Förkortning ger $\displaystyle \frac{(x+a)(x-a)}{x-a}=x+a$ . När $\displaystyle h\to0$ går värdet mot $\displaystyle 2a=4$ , vilket är gränsvärdet.

Vanliga misstag

Glömma fullständig faktorisering före förkortning.
Förkorta termer i summor i stället för faktorer i produkter.
Ignorera otillåtna x-värden från originalnämnaren.
Fel teckenhantering vid negativa faktorer.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra förkortning av rationella uttryck

Viktigt att tänka på

Behärska faktoriseringstekniker och träna regelbundet.
Skriv alltid domänvillkor från originaluttrycket.
Använd polynomdivision när täljaren har högre grad.
Var extra noggrann med minustecken.
Utnyttja algebraiska identiteter för snabbare faktoriseringssteg.

Testa dig själv

Testa dig själv: Förkorta rationella uttryck1/3

Förkorta $\displaystyle \dfrac{x^2-4}{x+2}$ , när $\displaystyle x\neq-2$ .

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här