Absolutbelopp

Absolutbelopp är ett fundamentalt begrepp i matematik med tillämpningar i ekvationer, olikheter, geometri, komplexa tal och feluppskattningar.

Definition av absolutbelopp

Absolutbeloppet av ett reellt tal $\displaystyle x$ skrivs $\displaystyle |x|$ och definieras så här:

För ett negativt tal byter man alltså tecken, till exempel $\displaystyle |-4|=-(-4)=4$. Geometriskt är $\displaystyle |x|$ avståndet från $\displaystyle x$ till 0 på tallinjen, och avstånd är aldrig negativa.

Egenskaper hos absolutbelopp

1. $\displaystyle |x|\ge 0$ för alla reella $\displaystyle x$
2. $\displaystyle |x|=|-x|$
3. $\displaystyle |xy|=|x|\cdot|y|$
4. $\displaystyle |x+y|\le|x|+|y|$ (triangelolikheten)
5. $\displaystyle \sqrt{x^2}=|x|$, eftersom kvadratroten aldrig är negativ

Grafen till y = |x|

Grafen till $\displaystyle y=|x|$ är V-formad med spetsen i origo. Till höger om y-axeln är $\displaystyle y=x$ och till vänster är $\displaystyle y=-x$.

Funktionen är inte deriverbar i $\displaystyle x=0$, eftersom grafen har en spets där och lutningen hoppar från $\displaystyle -1$ till $\displaystyle 1$.

Absolutbelopp i ekvationer och olikheter

1. Ekvationer med absolutbelopp

Om $\displaystyle a\ge0$ har ekvationen $\displaystyle |x|=a$ två lösningar, en på varje sida om 0 (en lösning om $\displaystyle a=0$):

Exempel: $\displaystyle |x-2|=3$ betyder att $\displaystyle x$ ligger på avståndet 3 från talet 2. Det ger $\displaystyle x=5$ eller $\displaystyle x=-1$.

2. Olikheter med absolutbelopp

För $\displaystyle a>0$ gäller:

Exempel: $\displaystyle |x+1|<2$ betyder att avståndet från $\displaystyle x$ till $\displaystyle -1$ är mindre än 2. Det ger $\displaystyle -3<x<1$.

Absolutbeloppsfunktioner

1. Funktionen $\displaystyle y=|x-a|+b$

Grafen till $\displaystyle y=|x|$ flyttas $\displaystyle a$ steg i x-led och $\displaystyle b$ steg i y-led. Spetsen hamnar i $\displaystyle (a;\ b)$.

2. Funktionen $\displaystyle y=a|x|$

Faktorn $\displaystyle a$ gör V:et brantare om $\displaystyle |a|>1$ och flackare om $\displaystyle |a|<1$. Om $\displaystyle a<0$ speglas grafen i x-axeln och spetsen blir en topp.

3. Funktionen $\displaystyle y=|x+a|+|x-a|$

Summan av avstånden till $\displaystyle -a$ och $\displaystyle a$ är konstant $\displaystyle 2|a|$ när $\displaystyle x$ ligger mellan punkterna, alltså för $\displaystyle -|a|\le x\le|a|$. Utanför intervallet växer funktionen linjärt.

Tillämpningar av absolutbelopp

• Avstånd på tallinjen: $\displaystyle |a-b|$ är avståndet mellan talen $\displaystyle a$ och $\displaystyle b$.
• Feluppskattning: $\displaystyle |\text{uppmätt}-\text{verkligt}|\le0{,}5$ betyder att felet är högst 0,5 åt något håll.
• Komplexa tal (Ma4): för $\displaystyle z=a+bi$ är $\displaystyle |z|=\sqrt{a^2+b^2}$.

• Glömma båda fallen vid ekvationer av typen $\displaystyle |u|=a$.
• Anta att $\displaystyle |x+y|=|x|+|y|$ alltid gäller.
• Blanda ihop reglerna för $\displaystyle |x|<a$ och $\displaystyle |x|>a$.
• Glömma att absolutbelopp aldrig är negativt.

Avsnittet visar hur idén med absolutbelopp, alltså avstånd, används i senare kurser. Det är fördjupning och ingår inte i Ma3c.

1. Absolutbelopp av komplexa tal (Ma4)

För $\displaystyle z=a+bi$ är $\displaystyle |z|=\sqrt{a^2+b^2}$, avståndet från origo i det komplexa talplanet. Till exempel är $\displaystyle |3+4i|=\sqrt{9+16}=5$.

2. Längden av en vektor

En vektor $\displaystyle \mathbf{v}=(x,y,z)$ i rummet har längden $\displaystyle |\mathbf{v}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

3. Avstånd mellan två punkter i planet

Avståndsformeln $\displaystyle d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ är en tvådimensionell motsvarighet till $\displaystyle |x_2-x_1|$ på tallinjen.

4. Areaskala vid matriser (universitetsnivå)

För en $\displaystyle 2\times2$-matris $\displaystyle A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ anger $\displaystyle |ad-bc|$ hur mycket areor förstoras av avbildningen.