Problemlösning med rationella uttryck

Lösning

1. Steg 1. Faktorisera täljaren med konjugatregeln och förkorta.

   $$\dfrac{(x+\nobreak 2)(x-\nobreak 2)}{x-\nobreak 2}=\nobreak x+\nobreak 2$$

Svar: $\displaystyle x+2$, där $\displaystyle x\neq2$.

Lösning

1. Steg 1. Förläng till den gemensamma nämnaren $\displaystyle (x-1)(x+1)$.

   $$\dfrac{x+\nobreak 1+\nobreak 2(x-\nobreak 1)}{(x-\nobreak 1)(x+\nobreak 1)}$$

2. Steg 2. Förenkla täljaren.

   $$\dfrac{3x-\nobreak 1}{(x-\nobreak 1)(x+\nobreak 1)}$$

Svar: $\displaystyle \dfrac{3x-1}{(x-1)(x+1)}$, där $\displaystyle x\neq\pm1$.

Lösning

1. Steg 1. Villkor: $\displaystyle x\neq\pm2$. Skriv vänsterledet som ett bråk med nämnaren $\displaystyle (x-2)(x+2)=x^2-4$.

   $$\dfrac{(x+\nobreak 2)+\nobreak (x-\nobreak 2)}{x^2-\nobreak 4}=\dfrac{2x}{x^2-\nobreak 4}$$

2. Steg 2. Sätt lika med $\displaystyle \frac12$ och multiplicera båda leden med $\displaystyle 2(x^2-4)$.

   $$4x=\nobreak x^2-\nobreak 4\ \Leftrightarrow\ x^2-\nobreak 4x-\nobreak 4=\nobreak 0$$

3. Steg 3. pq-formeln med $\displaystyle p=-4$ och $\displaystyle q=-4$. Förenkla $\displaystyle \sqrt8=2\sqrt2$.

   $$x=2\pm\nobreak \sqrt{4+\nobreak 4}=2\pm\nobreak 2\sqrt2$$

Svar: $\displaystyle x=2+2\sqrt2\approx4{,}83$ eller $\displaystyle x=2-2\sqrt2\approx-0{,}83$. Ingen av dem är $\displaystyle \pm2$, så båda gäller.

Lösning

1. Steg 1. Ansätt ett bråk för varje faktor i nämnaren, med okända konstanter $\displaystyle A$ och $\displaystyle B$.

   $$\dfrac{2x+\nobreak 5}{(x+\nobreak 1)(x-\nobreak 2)}=\dfrac{A}{x+\nobreak 1}+\nobreak \dfrac{B}{x-\nobreak 2}$$

2. Steg 2. Multiplicera med $\displaystyle (x+1)(x-2)$ och samla termerna.

   $$2x+\nobreak 5=A(x-\nobreak 2)+\nobreak B(x+\nobreak 1)=(A+\nobreak B)x+\nobreak (-\nobreak 2A+\nobreak B)$$

3. Steg 3. Jämför koefficienterna framför $\displaystyle x$ och konstanttermerna. Det ger ett ekvationssystem.

   $$\begin{cases}A+\nobreak B=\nobreak 2\\-\nobreak 2A+\nobreak B=\nobreak 5\end{cases}$$

4. Steg 4. Subtrahera den andra ekvationen från den första: $\displaystyle 3A=-3$, alltså $\displaystyle A=-1$ och $\displaystyle B=3$.

   $$\dfrac{2x+\nobreak 5}{(x+\nobreak 1)(x-\nobreak 2)}=\dfrac{-\nobreak 1}{x+\nobreak 1}+\nobreak \dfrac{3}{x-\nobreak 2}$$

Svar: $\displaystyle -\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{3}{x-2}$. Kontroll med $\displaystyle x=0$: $\displaystyle \frac{5}{-2}=-2{,}5$ och $\displaystyle -1-1{,}5=-2{,}5$.

Lösning

1. Steg 1. Multiplicera inte med $\displaystyle x-2$, eftersom tecknet är okänt. Subtrahera i stället 2 från båda leden och skriv på ett bråkstreck.

   $$\dfrac{x+\nobreak 3-\nobreak 2(x-\nobreak 2)}{x-\nobreak 2}=\dfrac{-\nobreak x+\nobreak 7}{x-\nobreak 2}>\nobreak 0$$

2. Steg 2. Täljaren är 0 vid $\displaystyle x=7$ och nämnaren vid $\displaystyle x=2$. Pröva tecknet i varje intervall: $\displaystyle x=0$ ger $\displaystyle \frac{7}{-2}<0$, $\displaystyle x=3$ ger $\displaystyle \frac{4}{1}>0$ och $\displaystyle x=8$ ger $\displaystyle \frac{-1}{6}<0$.

Svar: $\displaystyle 2<x<7$.

Lösning

1. Steg 1. Tid är sträcka delad med hastighet. Hastigheten måste vara positiv.

   $$t(v)=\dfrac{300}{v},\quad\allowbreak v>\nobreak 0$$

2. Steg 2. Sätt in $\displaystyle v=75$.

   $$t(75)=\dfrac{300}{75}=\nobreak 4$$

Svar: Restiden blir 4 timmar. Tiden och hastigheten är omvänt proportionella: dubbla hastigheten ger halva tiden.