Mer om rationella uttryck

Lösning

1. Steg 1. Faktorisera täljaren med konjugatregeln och förkorta faktorn $\displaystyle (x-2)$.

   $$\dfrac{(x+\nobreak 2)(x-\nobreak 2)}{x-\nobreak 2}=\nobreak x+\nobreak 2$$

Svar: $\displaystyle x+2$, där $\displaystyle x\neq2$.

Lösning

1. Steg 1. Förläng till den gemensamma nämnaren $\displaystyle (x-1)(x+1)$.

   $$\dfrac{(x+\nobreak 1)+\nobreak 2(x-\nobreak 1)}{(x-\nobreak 1)(x+\nobreak 1)}$$

2. Steg 2. Förenkla täljaren: $\displaystyle x+1+2x-2=3x-1$.

   $$\dfrac{3x-\nobreak 1}{(x-\nobreak 1)(x+\nobreak 1)}$$

Svar: $\displaystyle \dfrac{3x-1}{(x-1)(x+1)}$, där $\displaystyle x\neq\pm1$.

Lösning

1. Steg 1. Multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare. Inga faktorer kan förkortas.

   $$\dfrac{(x+\nobreak 1)(x-\nobreak 3)}{(x-\nobreak 2)(x+\nobreak 4)}$$

Svar: $\displaystyle \dfrac{(x+1)(x-3)}{(x-2)(x+4)}$, där $\displaystyle x\neq2$ och $\displaystyle x\neq-4$.

Lösning

1. Steg 1. Multiplicera med det inverterade bråket.

   $$\dfrac{x^2-\nobreak 1}{x+\nobreak 3}\cdot\nobreak \dfrac{x+\nobreak 2}{x-\nobreak 1}$$

2. Steg 2. Faktorisera $\displaystyle x^2-1$ och förkorta $\displaystyle (x-1)$.

   $$\dfrac{(x+\nobreak 1)(x-\nobreak 1)(x+\nobreak 2)}{(x+\nobreak 3)(x-\nobreak 1)}=\dfrac{(x+\nobreak 1)(x+\nobreak 2)}{x+\nobreak 3}$$

Svar: $\displaystyle \dfrac{(x+1)(x+2)}{x+3}$, där $\displaystyle x\neq-3$, $\displaystyle x\neq-2$ och $\displaystyle x\neq1$.

Lösning

1. Steg 1. Sätt in $\displaystyle \frac1x$ överallt där det står $\displaystyle x$ i $\displaystyle f$.

   $$f(g(x))=\dfrac{\frac1x+\nobreak 1}{\frac1x-\nobreak 2}$$

2. Steg 2. Multiplicera täljare och nämnare med $\displaystyle x$, så försvinner de små bråken.

   $$\dfrac{1+\nobreak x}{1-\nobreak 2x}$$

3. Steg 3. Villkor: $\displaystyle g$ kräver $\displaystyle x\neq0$, och nämnaren $\displaystyle 1-2x$ får inte vara 0.

Svar: $\displaystyle f(g(x))=\dfrac{x+1}{1-2x}$, där $\displaystyle x\neq0$ och $\displaystyle x\neq\frac12$.

Lösning

1. Steg 1. Nämnaren $\displaystyle (x-2)(x+2)$ är 0 vid $\displaystyle x=\pm2$, där täljaren inte är 0.

   $$x=\nobreak 2\quad\text{och}\quad x=\nobreak -\nobreak 2$$

2. Steg 2. Täljare och nämnare har båda grad 2. Den vågräta asymptoten är kvoten av de ledande koefficienterna.

   $$y=\dfrac{2}{1}=\nobreak 2$$

Svar: Lodräta asymptoter $\displaystyle x=\pm2$ och vågrät asymptot $\displaystyle y=2$.