Kapitel 1.4: Funktioner | Matematik 3

Bakgrund

Funktioner beskriver samband där varje input ger exakt ett outputvärde. I Ma3 arbetar vi med flera funktionstyper, deras grafer, transformationer, derivata, integral och modellering av verkliga situationer.

Teori

1. Definition av en funktion

En funktion $\displaystyle f$ från en mängd $\displaystyle A$ till en mängd $\displaystyle B$ tilldelar varje $\displaystyle x$ i $\displaystyle A$ exakt ett värde $\displaystyle y=f(x)$ i $\displaystyle B$ . Det skrivs $\displaystyle f:A\to B$ . Mängden $\displaystyle A$ av tillåtna x-värden kallas definitionsmängd, och mängden av alla funktionsvärden kallas värdemängd.

Viktigt

Ett samband är en funktion bara om varje x-värde ger exakt ett y-värde. Cirkeln $\displaystyle x^2+y^2=25$ är därför ingen funktion av $\displaystyle x$ : till exempel ger $\displaystyle x=3$ både $\displaystyle y=4$ och $\displaystyle y=-4$ .

2. Typer av funktioner

Linjär: $\displaystyle f(x)=kx+m$
Andragradsfunktion: $\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c$ , där $\displaystyle a\neq0$
Exponentialfunktion: $\displaystyle f(x)=C\cdot a^x$ , där $\displaystyle a>0$ och $\displaystyle a\neq1$
Logaritmfunktion: $\displaystyle f(x)=\log_a x$ , som är invers till $\displaystyle a^x$
Trigonometriska funktioner: sinus, cosinus och tangens (Ma3c)

3. Egenskaper hos funktioner

Definitionsmängd och värdemängd
Nollställen, där $\displaystyle f(x)=0$
Extrempunkter (lokala toppar och dalar)
Symmetri: jämn funktion om $\displaystyle f(-x)=f(x)$ , udda om $\displaystyle f(-x)=-f(x)$
Periodicitet: grafen upprepar sig, till exempel sinus

4. Sammansatta och inversa funktioner (fördjupning, Ma4)

En sammansatt funktion använder utdata från en funktion som indata i nästa:

(f\circ g)(x)=\nobreak f(g(x))

Funktionen $\displaystyle g$ är invers till $\displaystyle f$ om den tar tillbaka varje funktionsvärde till sitt x-värde:

f(g(x))=\nobreak x\quad\text{och}\quad g(f(x))=\nobreak x

5. Gränsvärden och kontinuitet

Gränsvärdet $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)$ är det värde som $\displaystyle f(x)$ närmar sig när $\displaystyle x$ närmar sig $\displaystyle a$ . Funktionen är kontinuerlig i $\displaystyle a$ om gränsvärdet finns och är lika med $\displaystyle f(a)$ .

6. Derivata och integral

Derivatan anger lutningen på grafens tangent och definieras med ett gränsvärde (kapitel 2):

f'(x)=\lim_{h\to\nobreak 0}\dfrac{f(x+\nobreak h)-\nobreak f(x)}{h}

Integralen $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx$ anger, när $\displaystyle f(x)\ge0$ , arean mellan grafen och x-axeln från $\displaystyle x=a$ till $\displaystyle x=b$ (kapitel 3).

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Linjär funktion genom två punkter

Uppgift: Bestäm den linjära funktion vars graf går genom punkterna $\displaystyle (1;\ 3)$ och $\displaystyle (4;\ 9)$ .

Exempel 2: Andragradsfunktion

Uppgift: Bestäm vertex och nollställen för $\displaystyle f(x)=x^2-6x+5$ .

Exempel 3: Exponentiell tillväxt

Uppgift: En bakteriekultur börjar med 1000 bakterier och fördubblas var tredje timme. Ställ upp en modell och beräkna antalet efter 15 timmar.

Exempel 4: Logaritmekvation

Uppgift: Lös ekvationen $\displaystyle \log_2 x+\log_2(x+3)=5$ .

Exempel 5: Trigonometrisk funktion (Ma3c)

Uppgift: Bestäm amplitud, period och förskjutningar för $\displaystyle f(x)=3\sin(2x-45^\circ)+1$ .

Interaktiva funktioner

Linjär funktion genom två punkter

Flytta punkterna och se hur $\displaystyle f(x)=kx+m$ ändras.

Första punkten: $\displaystyle x_1=1$

Första punkten: $\displaystyle y_1=3$

Andra punkten: $\displaystyle x_2=4$

Andra punkten: $\displaystyle y_2=9$

k=\dfrac{9-\nobreak 3}{4-\nobreak 1}\approx\nobreak 2,\quad\allowbreak m\approx\nobreak 1

Linjen genom de två punkterna

Lodrät axel: y

−8−5−20148−10−50510

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 5.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=2x+1$

Markerade punkter (ungefär):

Punkt 1: (1; 3)
Punkt 2: (4; 9)

Andragradsfunktion

Ändra $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ och $\displaystyle c$ i $\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c$ .

$\displaystyle a=1$

$\displaystyle b=-6$

$\displaystyle c=5$

x^{2}-\nobreak 6x+\nobreak 5=\nobreak 0

Diskriminanten är uttrycket under rottecknet i lösningsformeln $\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ :

D=\nobreak b^2-\nobreak 4ac=(-\nobreak 6)^2-\nobreak 4\cdot\nobreak 1\cdot\nobreak 5=\nobreak 16

Eftersom $\displaystyle D>0$ finns två reella lösningar.

x_1=\nobreak 1,\quad\allowbreak x_2=\nobreak 5

Parabeln och dess skärningar med x-axeln

Lodrät axel: y

−2−101234567−5−4−3−2−1012345678

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=x^{2}-6x+5$

Markerade punkter (ungefär):

Lösning: (1; 0)
Lösning: (5; 0)

Exponentiell tillväxt

$\displaystyle f(t)=1000\cdot2^{t/3}$ , där $\displaystyle t$ är tiden i timmar.

Tid: $\displaystyle t=15\text{ h}$

f(15)=1000\cdot\nobreak 2^{5}\approx\nobreak 32\,000

Kontrollera en logaritmlösning

Beräkna $\displaystyle \log_2 x+\log_2(x+3)$ för ett valt $\displaystyle x$ . Vid lösningen blir summan 5.

Värdet på

\displaystyle x

\log_2 4{,}35+\nobreak \log_2 7{,}35\approx\nobreak 4{,}999

Trigonometrisk funktion (Ma3c)

$\displaystyle f(x)=A\sin(Bx-C)+D$ med $\displaystyle x$ och $\displaystyle C$ i grader.

Amplitudfaktor: $\displaystyle A=3$

Periodfaktor: $\displaystyle B=2$

Förskjutning: $\displaystyle C=45^\circ$

Vertikal förskjutning: $\displaystyle D=1$

\begin{aligned}\text{amplitud}&=\nobreak |A|=\nobreak 3\\T&=\dfrac{360^\circ}{2}=180^\circ\\\text{förskjutning}&=\dfrac{C}{B}=22{,}5^\circ\end{aligned}

Grafen för x mellan 0° och 360°

Lodrät axel: y

0°90°180°270°360°−3−2−1012345

Vågrät axel: x (grader)

Rutlinjerna på x-axeln visar de markerade värdena. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=A\sin(Bx-C)+D$

Vanliga misstag

Förväxla definitionsmängd och värdemängd.
Glömma domänkontroll för logaritmer/rationella uttryck.
Feltolka periodicitet och symmetri i grafer.
Tolkningsfel av derivata/integral i tillämpningar.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra funktioner

Viktigt att tänka på

Skissa grafer för hand för stark intuition.
Gör alltid domänanalys först.
Lär dig transformationer (förskjutning, skalning, spegling).
Koppla ihop funktionstyper, särskilt exponential/logaritm.
Träna på modellering från verkliga situationer.

Fördjupning: Funktionsanalys

Avsnittet visar begrepp från senare kurser och högskolan. Det ingår inte i Ma3.

1. Kontinuitet och deriverbarhet

En funktion är kontinuerlig i $\displaystyle a$ om $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ . Den är deriverbar i $\displaystyle a$ om gränsvärdet $\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ finns.

2. Medelvärdessatsen

Om $\displaystyle f$ är deriverbar finns en punkt $\displaystyle c$ mellan $\displaystyle a$ och $\displaystyle b$ där tangentens lutning är lika med sekantens lutning:

f'(c)=\dfrac{f(b)-\nobreak f(a)}{b-\nobreak a}

3. L'Hôpitals regel

Om både täljare och nämnare går mot 0 kan gränsvärdet ibland beräknas med derivatorna:

\lim_{x\to\nobreak a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\nobreak a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}

4. Taylorpolynom

Nära $\displaystyle x=a$ kan en funktion approximeras med ett polynom:

f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2}(x-a)^2

5. Optimering

Hitta punkter där $\displaystyle f'(x)=0$ eller där derivatan saknas.
Avgör typ av punkt med teckenstudium eller andraderivatan (kapitel 3).

6. Implicit derivering

Exempel: lutning på en cirkel

Uppgift: Bestäm $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ för cirkeln $\displaystyle x^2+y^2=25$ .

Slutsats

Funktioner är kärnan i matematisk modellering. När du behärskar typer, egenskaper och analysverktyg får du en stark grund för både Ma3 och vidare studier.

Testa dig själv

Testa dig själv: Funktioner1/3

Vad är $\displaystyle f(3)$ om $\displaystyle f(x)=2x+1$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Bakgrund

Teori

1. Definition av en funktion

Viktigt

2. Typer av funktioner

3. Egenskaper hos funktioner

4. Sammansatta och inversa funktioner (fördjupning, Ma4)

5. Gränsvärden och kontinuitet

6. Derivata och integral

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Linjär funktion genom två punkter

Exempel 2: Andragradsfunktion

Exempel 3: Exponentiell tillväxt

Exempel 4: Logaritmekvation

Exempel 5: Trigonometrisk funktion (Ma3c)

Interaktiva funktioner

Linjär funktion genom två punkter

Andragradsfunktion

Exponentiell tillväxt

Kontrollera en logaritmlösning

Trigonometrisk funktion (Ma3c)

Vanliga misstag

Vanliga frågor

Hur skiljer sig funktion från ekvation?

Vad betyder explicit och implicit form?

När har en funktion en invers?

Hur hänger derivata och integral ihop?

Hur tolka gränsvärden geometriskt?

Tips för att bemästra funktioner

Viktigt att tänka på

Fördjupning: Funktionsanalys

1. Kontinuitet och deriverbarhet

2. Medelvärdessatsen

3. L'Hôpitals regel

4. Taylorpolynom

5. Optimering

6. Implicit derivering

Exempel: lutning på en cirkel

Slutsats

Testa dig själv

Testa dig själv: Funktioner1/3

Testa att du förstått