Problemlösning (funktioner)

Lösning

1. Steg 1. Låt $\displaystyle x$ vara sidan parallell med väggen och $\displaystyle y$ de två sidorna vinkelräta mot den, i meter. Staketet ger ett samband.

   $$x+\nobreak 2y=\nobreak 100\ \Rightarrow\ y=\dfrac{100-\nobreak x}{2}$$

2. Steg 2. Skriv arean som funktion av en variabel. Alla sidor ska vara positiva, så $\displaystyle 0<x<100$.

   $$A(x)=x\cdot\nobreak \dfrac{100-\nobreak x}{2}=50x-\nobreak 0{,}5x^2$$

3. Steg 3. Arean är störst där derivatan är 0 (kapitel 2). Samma svar ger symmetrilinjen $\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$.

   $$A'(x)=\nobreak 50-\nobreak x=\nobreak 0\ \Rightarrow\ x=\nobreak 50$$

4. Steg 4. Beräkna $\displaystyle y$ och arean.

   $$y=\dfrac{100-\nobreak 50}{2}=\nobreak 25,\quad\allowbreak A(50)=50\cdot\nobreak 25=\nobreak 1250$$

Svar: Hagen ska vara 50 m längs väggen och 25 m ut från den. Arean blir $\displaystyle 1250\text{ m}^2$.

Lösning

1. Steg 1. Efter $\displaystyle t$ timmar har det skett $\displaystyle \frac{t}{3}$ fördubblingar.

   $$N(t)=1000\cdot\nobreak 2^{t/3}$$

2. Steg 2. Sätt modellen lika med 1 000 000 och dividera båda leden med 1000.

   $$2^{t/3}=\nobreak 1000$$

3. Steg 3. Ta logaritmen av båda leden. Exponenten kan då flyttas ut som en faktor.

   $$\dfrac{t}{3}\cdot\nobreak \lg2=\nobreak \lg1000=\nobreak 3\ \Rightarrow\ t=\dfrac{9}{\lg2}\approx\nobreak 29{,}9$$

Svar: Efter knappt 30 timmar finns en miljon bakterier.

Lösning

1. Steg 1. Sinus varierar mellan $\displaystyle -1$ och 1. Temperaturen varierar därför 5 grader kring medelvärdet 20 grader.

   $$T_{\max}=\nobreak 20+\nobreak 5=\nobreak 25,\quad\allowbreak T_{\min}=\nobreak 20-\nobreak 5=\nobreak 15$$

2. Steg 2. Sinus är 1 när vinkeln är $\displaystyle 90^\circ$.

   $$15^\circ\cdot\nobreak (t-\nobreak 6)=\nobreak 90^\circ\ \Rightarrow\ t-\nobreak 6=\nobreak 6\ \Rightarrow\ t=\nobreak 12$$

3. Steg 3. Sinus är $\displaystyle -1$ när vinkeln är $\displaystyle -90^\circ$, vilket ger $\displaystyle t-6=-6$.

   $$t=\nobreak 0$$

Svar: Högst 25 grader klockan 12 och lägst 15 grader vid midnatt. Perioden är $\displaystyle \frac{360^\circ}{15^\circ}=24$ timmar, alltså ett dygn.

Lösning

1. Steg 1. Vertex ligger på symmetrilinjen $\displaystyle x=\frac a2$.

   $$f\!\left(\tfrac a2\right)=\tfrac{a^2}{4}-\nobreak \tfrac{a^2}{2}+\nobreak 1=1-\nobreak \tfrac{a^2}{4}$$

2. Steg 2. Parabeln öppnar uppåt, så den har nollställen precis när vertex ligger på eller under x-axeln.

   $$1-\nobreak \tfrac{a^2}{4}\le\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ a^2\ge\nobreak 4$$

Svar: $\displaystyle a\le-2$ eller $\displaystyle a\ge2$.

Lösning

1. Steg 1. Faktorisera och förkorta.

   $$\dfrac{(x+\nobreak 1)(x-\nobreak 1)}{x-\nobreak 1}=\nobreak x+\nobreak 1,\quad\allowbreak x\neq\nobreak 1$$

2. Steg 2. Gränsvärdet finns, trots att funktionen saknar värde i punkten.

   $$\lim_{x\to\nobreak 1}f(x)=\nobreak 2$$

Svar: Grafen är linjen $\displaystyle y=x+1$ med ett hål i $\displaystyle (1;\ 2)$. Det är ingen lodrät asymptot.