Problemlösning inom extremvärdesproblem

Lösning

1. Steg 1. Låt bredden vara $\displaystyle x$ m och längden $\displaystyle y$ m. Omkretsen ger ett samband.

   $$2x+\nobreak 2y=\nobreak 100\ \Leftrightarrow\ y=\nobreak 50-\nobreak x$$

2. Steg 2. Arean som funktion av $\displaystyle x$, där $\displaystyle 0<x<50$.

   $$A(x)=\nobreak x(50-\nobreak x)=\nobreak 50x-\nobreak x^2$$

3. Steg 3. Derivera och sätt derivatan lika med 0.

   $$A'(x)=\nobreak 50-\nobreak 2x=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ x=\nobreak 25$$

4. Steg 4. Andraderivatan $\displaystyle A''(x)=-2$ är negativ, så det är ett maximum. Längden blir $\displaystyle y=50-25=25$.

   $$A(25)=25\cdot\nobreak 25=\nobreak 625$$

Svar: Arean blir störst, $\displaystyle 625\ \text{m}^2$, för en kvadrat med sidan 25 m.

Lösning

1. Steg 1. En punkt på kurvan är $\displaystyle (x;\ x^2)$. Avståndsformeln ger kvadraten på avståndet. Den är minst där avståndet är minst, och är lättare att derivera.

   $$d^2=x^2+\nobreak (x^2-\nobreak 1)^2=x^4-\nobreak x^2+\nobreak 1$$

2. Steg 2. Derivera och sätt derivatan lika med 0.

   $$4x^3-\nobreak 2x=2x(2x^2-\nobreak 1)=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ x=\nobreak 0\ \text{eller}\ x=\pm\nobreak \dfrac{1}{\sqrt{2}}$$

3. Steg 3. Andraderivatan är $\displaystyle 12x^2-2$. Den är negativ i $\displaystyle x=0$ (maximum) och positiv, 4, i $\displaystyle x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$ (minimum).

4. Steg 4. Beräkna punkten och avståndet.

   $$y=\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\tfrac{1}{2},\quad\allowbreak d=\sqrt{\tfrac{1}{4}-\nobreak \tfrac{1}{2}+\nobreak 1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx\nobreak 0{,}87$$

Svar: De närmaste punkterna är $\displaystyle \left(\pm\frac{1}{\sqrt{2}};\ \frac{1}{2}\right)\approx(\pm0{,}71;\ 0{,}5)$, med avståndet ungefär 0,87.

Lösning

1. Steg 1. Låt radien vara $\displaystyle r$ cm och höjden $\displaystyle h$ cm. Volymvillkoret ger höjden.

   $$\pi r^2h=\nobreak 1000\ \Leftrightarrow\ h=\dfrac{1000}{\pi r^2}$$

2. Steg 2. Plåtens area är botten, lock och mantel. Sätt in $\displaystyle h$.

   $$A(r)=2\pi r^2+\nobreak 2\pi rh=2\pi r^2+\nobreak \dfrac{2000}{r}$$

3. Steg 3. Skriv $\displaystyle \frac{2000}{r}=2000r^{-1}$ och derivera.

   $$A'(r)=4\pi r-\nobreak \dfrac{2000}{r^2}=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ r^3=\dfrac{500}{\pi}$$

4. Steg 4. Lös ut $\displaystyle r$ och beräkna höjden.

   $$r=\sqrt[3]{\dfrac{500}{\pi}}\approx\nobreak 5{,}42,\quad\allowbreak h=\dfrac{1000}{\pi\cdot\nobreak 5{,}42^2}\approx\nobreak 10{,}84$$

5. Steg 5. Derivatan är negativ för mindre $\displaystyle r$ och positiv för större, så det är ett minimum.

Svar: Radien ska vara ungefär 5,4 cm och höjden ungefär 10,8 cm. Höjden blir lika stor som diametern.