Kapitel 3.2: Från derivata till funktion | Matematik 3

Bakgrund

Hittills har du gått från en funktion till dess derivata. Ofta är det tvärtom: du vet hur snabbt något förändras och vill veta hur mycket det är. Om du känner hastigheten kan du till exempel räkna ut sträckan. Då söker du en primitiv funktion.

Teori

1. Primitiv funktion

En funktion $\displaystyle F$ är en primitiv funktion till $\displaystyle f$ om

F'(x)=\nobreak f(x)

Om $\displaystyle F$ är en primitiv funktion är även $\displaystyle F(x)+C$ det, för varje konstant $\displaystyle C$ , eftersom derivatan av en konstant är 0. Alla primitiva funktioner kan därför skrivas $\displaystyle F(x)+C$ .

Skrivsättet $\displaystyle \displaystyle\int f(x)\,dx=F(x)+C$ kallas obestämd integral och betyder "alla primitiva funktioner till $\displaystyle f$ ".

2. Regler i Matematik 3

Potenser, när $\displaystyle n\neq-1$ : höj exponenten med 1 och dela med den nya exponenten.

f(x)=\nobreak x^n\ \Rightarrow\ F(x)=\dfrac{x^{n+\nobreak 1}}{n+\nobreak 1}+\nobreak C

En konstant $\displaystyle k$ har den primitiva funktionen $\displaystyle kx+C$ .
Exponentialfunktioner:

f(x)=\nobreak e^{kx}\ \Rightarrow\ F(x)=\dfrac{e^{kx}}{k}+\nobreak C

Konstanta faktorer följer med, och summor tas term för term.

Kontroll

Du kan alltid kontrollera en primitiv funktion genom att derivera den. Då ska du få tillbaka $\displaystyle f(x)$ .

3. Bestäm konstanten med ett villkor

Bestäm alla primitiva funktioner, med $\displaystyle +C$ .
Sätt in det givna villkoret, till exempel $\displaystyle F(1)=4$ .
Lös ut $\displaystyle C$ och skriv den enda funktion som uppfyller villkoret.

4. Fördjupning (Ma4)

I Matematik 4 tillkommer bland annat $\displaystyle \displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$ , $\displaystyle \displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ och $\displaystyle \displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C$ , samt metoder som variabelsubstitution.

Exempel

Exempel 1: Polynom

Uppgift: Bestäm alla funktioner $\displaystyle f$ med derivatan $\displaystyle f'(x)=3x^2+2$ .

Exempel 2: Exponentialfunktion

Uppgift: Bestäm en primitiv funktion till $\displaystyle g(x)=6e^{2x}+1$ .

Exempel 3: Bestäm konstanten

Uppgift: Bestäm den funktion $\displaystyle h$ som har derivatan $\displaystyle h'(x)=2x$ och uppfyller $\displaystyle h(1)=4$ .

Fördjupning (Ma4): logaritm och trigonometri

Uppgift: Bestäm $\displaystyle k$ om $\displaystyle k'(x)=\frac{1}{x}$ , $\displaystyle x>0$ och $\displaystyle k(1)=0$ .

Interaktiva funktioner

En familj av primitiva funktioner

Alla funktioner $\displaystyle F(x)=x^3+2x+C$ har derivatan $\displaystyle 3x^2+2$ .

Konstant: $\displaystyle C=0$

Punkt: $\displaystyle x=1$

F(x)=\nobreak x^{3}+\nobreak 2x

F'(1)=3\cdot\nobreak (1)^2+\nobreak 2=\nobreak 5

Ändra $\displaystyle C$ : grafen flyttas uppåt eller nedåt, men lutningen i varje punkt är densamma. Därför ger derivatan ingen information om $\displaystyle C$ .

Tre primitiva funktioner och den valda

Lodrät axel: y

−2−1012−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1012345678910

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle F(x)=x^3+2x+C$
Streckad: $\displaystyle y=x^3+2x-4$
Prickad: $\displaystyle y=x^3+2x+4$

Markerade punkter (ungefär):

Punkt på vald funktion: (1; 3)

Ett villkor bestämmer konstanten

Bestäm $\displaystyle h(x)=x^2+C$ så att grafen går genom punkten $\displaystyle (1;\ b)$ .

Funktionsvärdet när x = 1: $\displaystyle b=4$

h(1)=\nobreak 1+\nobreak C=\nobreak 4\ \Leftrightarrow\ C=\nobreak 3

h(x)=\nobreak x^{2}+\nobreak 3

Parabeln genom den valda punkten

Lodrät axel: y

−3−2−10123−4−3−2−1012345678910

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle h(x)=x^2+C$

Markerade punkter (ungefär):

Villkorspunkten: (1; 4)

Tillämpningar

Fysik: läget fås från hastigheten, och hastigheten från accelerationen.
Ekonomi: den totala kostnaden fås från marginalkostnaden.
Biologi: en population fås från tillväxthastigheten.

I alla fallen behövs ett startvärde, till exempel läget vid tiden 0, för att bestämma konstanten.

Vanliga misstag

Att glömma konstanten $\displaystyle C$ .
Att använda potensregeln när exponenten är $\displaystyle -1$ . Den regeln ger division med 0.
Att multiplicera med den nya exponenten i stället för att dela.
Att glömma använda villkoret för att bestämma $\displaystyle C$ .

Vanliga frågor

Tips för att bemästra integrering

Viktigt att tänka på

Kontrollera alltid genom att derivera din primitiva funktion.
Skriv om $\displaystyle \frac{1}{x^2}$ som $\displaystyle x^{-2}$ och $\displaystyle \sqrt{x}$ som $\displaystyle x^{1/2}$ innan du börjar.
Var noggrann med konstanta faktorer och tecken.

Testa dig själv1/3

Vilken är en primitiv funktion till $\displaystyle f(x)=4x^3$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i integraler för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här