Problemlösning: Ändringskvoter och derivata

Lösning

1. Steg 1. Beräkna antalet vid de två tidpunkterna.

   $$N(1)=\nobreak 230,\quad\allowbreak N(4)=200+\nobreak 30\cdot\nobreak 16=\nobreak 680$$

2. Steg 2. Den genomsnittliga tillväxten är ändringskvoten.

   $$\dfrac{680-\nobreak 230}{4-\nobreak 1}=\dfrac{450}{3}=\nobreak 150$$

3. Steg 3. Tillväxthastigheten i ett ögonblick är derivatan.

   $$N'(t)=\nobreak 60t,\quad\allowbreak N'(4)=\nobreak 240$$

Svar: I genomsnitt ökar antalet med 150 bakterier per timme mellan $\displaystyle t=1$ och $\displaystyle t=4$. När $\displaystyle t=4$ ökar antalet med 240 bakterier per timme.

Lösning

1. Steg 1. Parallella linjer har samma lutning, så tangenten ska ha lutningen 2.

   $$y'=\nobreak 2x-\nobreak 4=\nobreak 2\ \Leftrightarrow\ x=\nobreak 3$$

2. Steg 2. Beräkna punktens y-koordinat.

   $$y(3)=\nobreak 9-\nobreak 12+\nobreak 1=\nobreak -\nobreak 2$$

3. Steg 3. Sätt in punkten $\displaystyle (3;\ -2)$ och $\displaystyle k=2$ i $\displaystyle y=kx+m$.

   $$-\nobreak 2=2\cdot\nobreak 3+\nobreak m\ \Leftrightarrow\ m=\nobreak -\nobreak 8$$

Svar: Punkten är $\displaystyle (3;\ -2)$ och tangenten är $\displaystyle y=2x-8$.

Lösning

1. Steg 1. Låt $\displaystyle x$ m vara längden på de två sidorna som går ut från väggen. Då blir sidan mittemot väggen $\displaystyle 40-2x$ m. Båda måtten måste vara positiva, så $\displaystyle 0<x<20$.

   $$A(x)=\nobreak x(40-\nobreak 2x)=\nobreak 40x-\nobreak 2x^2$$

2. Steg 2. Derivera och sätt derivatan lika med 0.

   $$A'(x)=\nobreak 40-\nobreak 4x=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ x=\nobreak 10$$

3. Steg 3. Andraderivatan är negativ, så det är ett maximum.

   $$A''(x)=\nobreak -\nobreak 4<\nobreak 0$$

4. Steg 4. Beräkna måtten och arean.

   $$40-\nobreak 2\cdot\nobreak 10=\nobreak 20,\quad\allowbreak A(10)=10\cdot\nobreak 20=\nobreak 200$$

Svar: Hagen ska vara 10 m ut från väggen och 20 m längs väggen. Arean blir då $\displaystyle 200\ \text{m}^2$.

Lösning

1. Steg 1. Tangenten i $\displaystyle x=1$: $\displaystyle f(1)=0$ och $\displaystyle f'(1)=3-2=1$.

   $$y=0+\nobreak 1\cdot\nobreak (x-\nobreak 1)=\nobreak x-\nobreak 1$$

2. Steg 2. Sätt in $\displaystyle x=1{,}1$ i tangentens ekvation.

   $$f(1{,}1)\approx\nobreak 1{,}1-\nobreak 1=\nobreak 0{,}1$$

3. Steg 3. Exakt värde.

   $$f(1{,}1)=1{,}331-\nobreak 2{,}2+\nobreak 1=\nobreak 0{,}131$$

Svar: Närmevärdet är $\displaystyle 0{,}1$ och det exakta värdet $\displaystyle 0{,}131$. Felet är litet eftersom $\displaystyle 1{,}1$ ligger nära 1.

Lösning

1. Steg 1. Derivera båda leden med avseende på $\displaystyle x$. Eftersom $\displaystyle y$ beror på $\displaystyle x$ blir derivatan av $\displaystyle y^2$ lika med $\displaystyle 2y\cdot y'$.

   $$2x+\nobreak 2y\,y'=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ y'=-\nobreak \dfrac{x}{y}$$

2. Steg 2. Sätt in punkten.

   $$y'=-\nobreak \dfrac{3}{4}$$

Svar: Tangentens lutning är $\displaystyle -\frac{3}{4}=-0{,}75$.