Gymnasiet
Ma3b/Ma3c
Kapitel 2.2

Deriveringsregler

På den här sidan

Bakgrund

Att derivera med definitionen tar tid. Deriveringsreglerna är genvägar som alltid ger samma svar som definitionen. Med dem kan du snabbt bestämma derivatan, och sedan använda den för tangenter, kurvundersökning och optimering.

Teori

Notationen D(f(x))\displaystyle D(f(x)) och f′(x)\displaystyle f'(x) betyder samma sak: derivatan av f(x)\displaystyle f(x). Här är reglerna i Matematik 3.

1. Konstanter och potenser

D(c)=0D(c)=\nobreak 0D(xn)=n⋅xn−1D(x^n)=n\cdot\nobreak x^{n-\nobreak 1}

En konstant har derivatan 0, eftersom dess graf är en vågrät linje. Potensregeln gäller för alla reella n\displaystyle n, även negativa tal och bråk. Exponenten flyttas ned som faktor och minskas sedan med 1.

2. Konstant faktor, summor och differenser

D(k⋅f(x))=k⋅f′(x)D(k\cdot\nobreak f(x))=k\cdot\nobreak f'(x)D(f(x)±g(x))=f′(x)±g′(x)D(f(x)\pm\nobreak g(x))=f'(x)\pm\nobreak g'(x)

En konstant faktor följer bara med, och en summa deriveras term för term.

3. Exponentialfunktioner

D(ex)=ex,D(ekx)=k⋅ekxD(e^x)=\nobreak e^x,\qquad\allowbreak D(e^{kx})=k\cdot\nobreak e^{kx}D(ax)=ax⋅ln⁡aD(a^x)=a^x\cdot\nobreak \ln a

Talet e≈2,718\displaystyle e\approx2{,}718 och den naturliga logaritmen ln⁡\displaystyle \ln förklaras i avsnitt 2.3.

Skriv om först

Skriv rötter och bråk som potenser innan du deriverar: x=x1/2\displaystyle \sqrt{x}=x^{1/2} och 1x2=x−2\displaystyle \dfrac{1}{x^2}=x^{-2}.

4. Fördjupning (Ma4)

I Matematik 4 kommer regler för produkter, kvoter och sammansatta funktioner:

  • Produktregeln: D(f⋅g)=f′g+fg′\displaystyle D(f\cdot g)=f'g+fg'
  • Kvotregeln: D(fg)=f′g−fg′g2\displaystyle D\left(\dfrac{f}{g}\right)=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}
  • Kedjeregeln: D(f(g(x)))=f′(g(x))⋅g′(x)\displaystyle D\big(f(g(x))\big)=f'(g(x))\cdot g'(x)

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Polynom

Uppgift: Derivera f(x)=4x5−3x2+7x−2\displaystyle f(x)=4x^5-3x^2+7x-2.

Exempel 2: Negativ exponent

Uppgift: Derivera f(x)=3x2\displaystyle f(x)=\dfrac{3}{x^2}.

Exempel 3: Kvadratrot

Uppgift: Derivera f(x)=x\displaystyle f(x)=\sqrt{x} och beräkna f′(4)\displaystyle f'(4).

Exempel 4: Exponentialfunktioner

Uppgift: Derivera f(x)=5e2x\displaystyle f(x)=5e^{2x} och g(x)=3⋅2x\displaystyle g(x)=3\cdot2^x.

Fördjupning (Ma4): produkt, kvot och kedja

Uppgift: Derivera p(x)=xex\displaystyle p(x)=xe^x, q(x)=x2x+1\displaystyle q(x)=\dfrac{x^2}{x+1} och r(x)=(3x+1)4\displaystyle r(x)=(3x+1)^4.

Interaktiva funktioner

Potensregeln

Välj koefficienten a\displaystyle a och exponenten n\displaystyle n i f(x)=a⋅xn\displaystyle f(x)=a\cdot x^n, och en punkt x\displaystyle x.

Koefficient: a=2\displaystyle a=2

Exponent: n=3\displaystyle n=3

Punkt: x=1\displaystyle x=1

f(x)=2x3,f′(x)=6x2f(x)=\nobreak 2x^{3},\quad\allowbreak f'(x)=\nobreak 6x^{2}f′(1)=6⋅12=6f'(1)=6\cdot\nobreak 1^{2}=\nobreak 6
Grafen och tangenten i punkten
Lodrät axel: y
−3−2−10123−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1012345678910

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

  • Heldragen: f(x)=2x3\displaystyle f(x)=2x^{3}
  • Streckad: Tangenten

Markerade punkter (ungefär):

  • Tangeringspunkt: (1; 2)

Derivatan av e upphöjt till kx

För f(x)=ekx\displaystyle f(x)=e^{kx} gäller f′(x)=kekx\displaystyle f'(x)=ke^{kx}. Lutningen är alltså k\displaystyle k gånger funktionsvärdet.

Konstant: k=0,5\displaystyle k=0{,}5

Punkt: x=1\displaystyle x=1

f(1)=e0,5≈1,649f(1)=e^{0{,}5}\approx\nobreak 1{,}649f′(1)=0,5⋅e0,5≈0,824f'(1)=0{,}5\cdot\nobreak e^{0{,}5}\approx\nobreak 0{,}824
Grafen och tangenten
Lodrät axel: y
−3−2−10123−1012345678

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

  • Heldragen: f(x)=ekx\displaystyle f(x)=e^{kx}
  • Streckad: Tangenten

Markerade punkter (ungefär):

  • Tangeringspunkt: (1; 1,6487)

Fördjupning (Ma4): produktregeln i en punkt

För p(x)=xex\displaystyle p(x)=xe^x ger produktregeln p′(x)=ex(1+x)\displaystyle p'(x)=e^x(1+x).

Punkt: x=1\displaystyle x=1

p′(1)=e1⋅(1+1)≈5,437p'(1)=e^{1}\cdot\nobreak (1+\nobreak 1)\approx\nobreak 5{,}437

Derivatan är positiv, så funktionen växer här.

Vanliga misstag

  • Att glömma att minska exponenten med 1, till exempel D(x3)=3x3\displaystyle D(x^3)=3x^3. Rätt är 3x2\displaystyle 3x^2.
  • Att låta konstanttermen stå kvar efter deriveringen.
  • Att derivera 1x\displaystyle \frac{1}{x} eller x\displaystyle \sqrt{x} utan att först skriva om till en potens.
  • Att använda potensregeln på 2x\displaystyle 2^x. När variabeln står i exponenten gäller D(ax)=axln⁡a\displaystyle D(a^x)=a^x\ln a.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra deriveringsregler

Viktigt att tänka på

  • Skriv om rötter och bråk som potenser innan du deriverar.
  • Derivera en term i taget och skriv ut mellanleden.
  • Skilj på x2\displaystyle x^2, där variabeln är basen, och 2x\displaystyle 2^x, där variabeln är exponenten.
  • Kontrollera ditt svar genom att beräkna derivatan i en punkt och jämföra med grafens lutning.

Testa dig själv1/3

Derivera f(x)=5x4−2x+9\displaystyle f(x)=5x^4-2x+9.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i derivata för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Aktivera JavaScript för att använda formulär och interaktiva verktyg. Sidans innehåll och länkar kan läsas utan JavaScript.