Kapitel 2.1.5: Derivatans definition | Matematik 3

Bakgrund

Derivatan beskriver hur snabbt en funktion förändras i en punkt. Definitionen visar exakt hur man går från lutningen mellan två punkter till lutningen i en punkt. Den är grunden för alla deriveringsregler som du använder senare.

Teori

1. Ändringskvoter och sekanter

Ändringskvoten mellan $\displaystyle a$ och $\displaystyle a+h$ är lutningen på sekanten genom punkterna $\displaystyle (a;\ f(a))$ och $\displaystyle (a+h;\ f(a+h))$ :

\dfrac{f(a+\nobreak h)-\nobreak f(a)}{h}

2. Derivatans definition

Låt $\displaystyle h$ gå mot 0. Då vrids sekanten mot tangenten, och lutningen närmar sig derivatan:

f'(a)=\lim_{h\to\nobreak 0}\dfrac{f(a+\nobreak h)-\nobreak f(a)}{h}

Man kan inte sätta $\displaystyle h=0$ direkt, eftersom det ger $\displaystyle \frac{0}{0}$ . Därför förenklar man först uttrycket så att $\displaystyle h$ kan förkortas bort, och låter sedan $\displaystyle h$ gå mot 0.

Viktigt

Derivatan finns bara om ändringskvoten närmar sig samma värde när $\displaystyle h$ går mot 0 från både vänster (negativa $\displaystyle h$ ) och höger (positiva $\displaystyle h$ ).

3. Olika skrivsätt

$\displaystyle f'(x)$ , "f prim av x", är vanligast i skolan.
$\displaystyle \dfrac{dy}{dx}$ betyder en liten ändring i y delad med en liten ändring i x.
$\displaystyle y'$ används när funktionen skrivs som $\displaystyle y=\ldots$ .

4. Vad derivatan visar

Förändringshastigheten i en punkt, till exempel hastighet.
Tangentens lutning i punkten.
Ett närmevärde nära punkten: $\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$ .
Om funktionen växer ( $\displaystyle f'>0$ ) eller avtar ( $\displaystyle f'<0$ ).

5. Deriverbarhet och kontinuitet

Om en funktion är deriverbar i en punkt är den också kontinuerlig där. Det omvända gäller inte: $\displaystyle f(x)=|x|$ är kontinuerlig överallt men saknar derivata i $\displaystyle x=0$ , där grafen har ett hörn.

6. Andraderivatan

Andraderivatan $\displaystyle f''(x)$ är derivatan av $\displaystyle f'(x)$ . Den visar hur lutningen förändras. I fysik är derivatan av sträckan hastigheten, och derivatan av hastigheten är accelerationen.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Derivera med definitionen

Uppgift: Använd derivatans definition för att bestämma $\displaystyle f'(x)$ när $\displaystyle f(x)=x^2$ .

Exempel 2: Derivatan i en punkt med definitionen

Uppgift: Använd definitionen för att bestämma $\displaystyle f'(1)$ när $\displaystyle f(x)=x^2+3x$ .

Exempel 3: Tangentens ekvation

Uppgift: Bestäm ekvationen för tangenten till $\displaystyle f(x)=x^3-2x+1$ i punkten där $\displaystyle x=1$ .

Exempel 4: Ett hörn saknar derivata

Uppgift: Undersök om $\displaystyle f(x)=|x|$ är deriverbar i $\displaystyle x=0$ genom att jämföra ändringskvoten från vänster och höger.

Exempel 5: Hastighet och acceleration

Uppgift: Ett föremåls läge är $\displaystyle s(t)=t^3-3t^2+2t$ meter efter $\displaystyle t$ sekunder. Bestäm hastigheten och accelerationen när $\displaystyle t=2$ .

Interaktiva funktioner

Ändringskvot mot derivata

Funktionen är $\displaystyle f(x)=x^2$ . Välj punkten $\displaystyle a$ och steget $\displaystyle h$ .

Punkt: $\displaystyle a=1$

Steg: $\displaystyle h=1$

\dfrac{f(2)-\nobreak f(1)}{1}=\nobreak 2a+\nobreak h=\nobreak 3

f'(1)=\nobreak 2a=\nobreak 2

Skillnaden mellan ändringskvoten och derivatan är exakt $\displaystyle h=1$ . Den försvinner när $\displaystyle h$ går mot 0.

Parabeln, sekanten och tangenten

Lodrät axel: y

−5−2012501020

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 10.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=x^2$
Streckad: Sekanten
Prickad: Tangenten

Markerade punkter (ungefär):

Punkten a: (1; 1)
Punkten a + h: (2; 4)

Absolutbeloppet i origo

Ändringskvoten för $\displaystyle f(x)=|x|$ i $\displaystyle x=0$ , från höger och från vänster.

Stegets storlek: $\displaystyle h=0{,}5$

\text{från höger: }\ \dfrac{|0{,}5|}{0{,}5}=\nobreak 1

\text{från vänster: }\ \dfrac{|-\nobreak 0{,}5|}{-\nobreak 0{,}5}=\nobreak -\nobreak 1

Hur litet steget än blir är kvoterna 1 och $\displaystyle -1$ . De två sidorna kommer aldrig överens, så derivatan saknas i $\displaystyle x=0$ .

Grafen till absolutbeloppet med ett hörn i origo

Lodrät axel: y

−3−2−10123−10123

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=|x|$

Markerade punkter (ungefär):

Vänster punkt: (−0,5; 0,5)
Hörn: (0; 0)
Höger punkt: (0,5; 0,5)

Tangent i valfri punkt

Funktionen är $\displaystyle f(x)=x^3-2x+1$ med derivatan $\displaystyle f'(x)=3x^2-2$ .

Tangeringspunktens x-värde: $\displaystyle x_0=1$

f(1)=\nobreak 0,\quad\allowbreak k=\nobreak f'(1)=\nobreak 1

y=\nobreak x-\nobreak 1

Grafen och tangenten

Lodrät axel: y

−3−2−10123−6−5−4−3−2−1012345678

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=x^3-2x+1$
Streckad: Tangenten

Markerade punkter (ungefär):

Tangeringspunkt: (1; 0)

Läge, hastighet och acceleration

Läget är $\displaystyle s(t)=t^3-3t^2+2t$ meter efter $\displaystyle t$ sekunder.

Tid: $\displaystyle t=2\ \text{s}$

s(2)=\nobreak 0\ \text{m}

v(2)=3\cdot\nobreak 2^2-\nobreak 6\cdot\nobreak 2+\nobreak 2=\nobreak 2\ \text{m/s}

a(2)=6\cdot\nobreak 2-\nobreak 6=\nobreak 6\ \text{m/s}^2

Hastigheten är positiv: föremålet rör sig framåt.

Vanliga misstag

Att sätta $\displaystyle h=0$ innan $\displaystyle h$ har förkortats bort. Det ger $\displaystyle \frac{0}{0}$ .
Att glömma att skriva $\displaystyle \lim_{h\to0}$ fram till sista steget.
Att räkna fel med parenteser, till exempel $\displaystyle (x+h)^2=x^2+h^2$ . Det rätta är $\displaystyle x^2+2xh+h^2$ .
Att tro att en kontinuerlig funktion alltid är deriverbar.
Att blanda ihop funktionsvärdet $\displaystyle f(a)$ med derivatan $\displaystyle f'(a)$ .

Vanliga frågor

Tips för att bemästra derivatans definition

Viktigt att tänka på

Tänk på derivatan som tangentens lutning.
Förenkla täljaren helt innan du förkortar med $\displaystyle h$ .
Kontrollera vänster och höger vid hörn och andra speciella punkter.
Jämför svaret med en deriveringsregel när det går.

Testa dig själv1/3

Vilket uttryck är derivatans definition?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i derivata för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Bakgrund

Teori

1. Ändringskvoter och sekanter

2. Derivatans definition

Viktigt

3. Olika skrivsätt

4. Vad derivatan visar

5. Deriverbarhet och kontinuitet

6. Andraderivatan

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Derivera med definitionen

Exempel 2: Derivatan i en punkt med definitionen

Exempel 3: Tangentens ekvation

Exempel 4: Ett hörn saknar derivata

Exempel 5: Hastighet och acceleration

Interaktiva funktioner

Ändringskvot mot derivata

Absolutbeloppet i origo

Tangent i valfri punkt

Läge, hastighet och acceleration

Vanliga misstag

Vanliga frågor

Varför behövs gränsvärdet i definitionen?

Kan alla funktioner deriveras?

Vad är skillnaden mellan ändringskvot och derivata?

Hur relaterar derivatan till grafen?

Varför är derivata viktig?

Tips för att bemästra derivatans definition

Viktigt att tänka på

Testa dig själv1/3

Testa att du förstått