Primitiva funktioner med villkor

En funktion har oändligt många primitiva funktioner, som skiljer sig med en konstant. Om man vet ett värde, till exempel var ett föremål befinner sig vid starten, kan man bestämma konstanten. Då får man en enda funktion.

1. Alla primitiva funktioner

Om $\displaystyle F'(x)=f(x)$ kan alla primitiva funktioner till $\displaystyle f$ skrivas $\displaystyle F(x)+C$.

2. Ett villkor ger en enda funktion

Ett villkor av typen $\displaystyle F(a)=b$ betyder att grafen ska gå genom punkten $\displaystyle (a;\ b)$. Bara en av graferna i familjen gör det.

1. Bestäm alla primitiva funktioner, $\displaystyle F(x)+C$.
2. Sätt in $\displaystyle x=a$ och sätt uttrycket lika med $\displaystyle b$.
3. Lös ut $\displaystyle C$ och skriv den funktion som söks.
4. Kontrollera genom att derivera och sätta in villkoret.

3. Regler

Konstanta faktorer följer med, och summor tas term för term. Fördjupning (Ma4): $\displaystyle \displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$, $\displaystyle \displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ och $\displaystyle \displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C$.

Geometrisk tolkning

Alla primitiva funktioner till $\displaystyle 3x^2$ är förskjutningar i höjdled av $\displaystyle x^3$. Villkoret $\displaystyle F(1)=5$ väljer den graf som går genom punkten $\displaystyle (1;\ 5)$.

• Att glömma $\displaystyle C$ innan villkoret sätts in.
• Att sätta in villkoret i derivatan i stället för i den primitiva funktionen.
• Teckenfel med negativa exponenter.
• Att glömma att $\displaystyle e^0=1$, inte 0.

1. Mekanik: läge från hastighet och hastighet från acceleration.
2. Elektricitet: laddning från ström.
3. Värme: temperatur från en uppvärmningshastighet.

Ett problem av typen $\displaystyle y'(x)=f(x)$ med villkoret $\displaystyle y(a)=b$ är den enklaste sortens differentialekvation med begynnelsevillkor. Sådana ekvationer studeras mer i Matematik 5.