Kapitel 3.2.1: Primitiva funktioner | Matematik 3

Bakgrund

Derivatan beskriver förändring. En primitiv funktion går åt andra hållet: den svarar på vilken funktion som har en viss derivata. Primitiva funktioner behövs för att beräkna integraler och areor, och för att räkna ut sträcka från hastighet.

Teori

1. Definition

En funktion $\displaystyle F(x)$ är en primitiv funktion till $\displaystyle f(x)$ om $\displaystyle F'(x)=f(x)$ .

Obs

Om $\displaystyle F(x)$ är en primitiv funktion är även $\displaystyle F(x)+C$ det, för varje konstant $\displaystyle C$ .

2. Regler

Potenser, när $\displaystyle n\neq-1$ : höj exponenten med 1 och dela med den nya exponenten.

\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+\nobreak 1}}{n+\nobreak 1}+\nobreak C

Exponentialfunktioner:

\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+\nobreak C

\int a^x\,dx=\dfrac{a^x}{\ln a}+\nobreak C

Summor och konstanta faktorer tas term för term:

\int\big(k\cdot\nobreak f(x)+g(x)\big)\,dx=k\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx

Varför fungerar reglerna? Derivera högerledet, så får du tillbaka det som står i integralen. Till exempel är $\displaystyle D\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{(n+1)x^n}{n+1}=x^n$ .

3. Fördjupning (Ma4): fler regler

$\displaystyle \displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$ , när $\displaystyle x\neq0$ . Det är fallet $\displaystyle n=-1$ som potensregeln inte klarar.
$\displaystyle \displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ och $\displaystyle \displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C$ .

Exempel

Exempel 1: Polynom

Uppgift: Bestäm alla primitiva funktioner till $\displaystyle f(x)=6x^2-4x+3$ .

Exempel 2: Negativ exponent

Uppgift: Bestäm en primitiv funktion till $\displaystyle f(x)=\dfrac{3}{x^2}$ .

Exempel 3: Kvadratrot

Uppgift: Bestäm en primitiv funktion till $\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$ .

Exempel 4: Exponentialfunktioner

Uppgift: Bestäm primitiva funktioner till $\displaystyle f(x)=e^{0{,}5x}$ och $\displaystyle g(x)=2^x$ .

Interaktiva funktioner

Potensregeln baklänges

Välj exponenten $\displaystyle n$ i $\displaystyle f(x)=x^n$ .

Exponent: $\displaystyle n=2$

\int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}+\nobreak C

\text{kontroll: }\ D\left(\dfrac{x^{3}}{3}\right)=\nobreak x^{2}

Primitiv funktion och area

För $\displaystyle f(t)=2t$ är $\displaystyle F(t)=t^2$ en primitiv funktion. Skillnaden $\displaystyle F(b)-F(a)$ är integralen från $\displaystyle a$ till $\displaystyle b$ .

Undre gräns: $\displaystyle a=0$

Övre gräns: $\displaystyle b=2$

\int_{0}^{2}2t\,dt=2^2-\nobreak (0)^2=\nobreak 4

Där grafen ligger under t-axeln räknas arean negativt. Därför kan integralen bli 0 eller negativ fast det skuggade området har en area.

Det skuggade området mellan grafen och t-axeln

Lodrät axel: y

−3−2−10123−7−6−5−4−3−2−101234567

Vågrät axel: t

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle f(t)=2t$

Skuggat område från $\displaystyle x=0$ till $\displaystyle x=2$ .

Tillämpningar

1. Area under en kurva

\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-\nobreak F(a)

Här är $\displaystyle F$ en primitiv funktion till $\displaystyle f$ . Det behandlas i avsnitt 3.2.3 till 3.2.5.

2. Sträcka från hastighet

Om hastigheten är $\displaystyle v(t)$ är läget en primitiv funktion till $\displaystyle v(t)$ .

3. Fördjupning: metoder för svårare integraler

Variabelsubstitution (Ma4): $\displaystyle \displaystyle\int\sin(2x)\,dx=-\frac{1}{2}\cos(2x)+C$ .
Partiell integration: för produkter, till exempel $\displaystyle \displaystyle\int x\cos x\,dx=x\sin x+\cos x+C$ .
Partialbråksuppdelning: för kvoter av polynom, till exempel $\displaystyle \frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{2(x+1)}$ .

Kontrollera alltid sådana resultat genom att derivera.

Vanliga misstag

Att glömma konstanten $\displaystyle C$ .
Teckenfel med negativa exponenter: $\displaystyle -2+1=-1$ .
Att multiplicera med den nya exponenten i stället för att dela.
Att använda potensregeln på $\displaystyle \frac{1}{x}$ .

Vanliga frågor

Tips för att bemästra primitiva funktioner

Viktigt att tänka på

Lär dig de vanligaste primitiva funktionerna.
Derivera alltid ditt svar som kontroll.
Skriv om rötter och bråk som potenser innan du börjar.
Jämför graferna till $\displaystyle f$ och $\displaystyle F$ : där $\displaystyle f$ är positiv växer $\displaystyle F$ .

Testa dig själv1/3

Bestäm alla primitiva funktioner till $\displaystyle f(x)=x^5$ .

Testa att du förstått

Träna uppgifter i integraler för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här