Kapitel 3.2.3: Integral och area | Matematik 3

Bakgrund

Derivatan beskriver förändring i en punkt. Integralen gör tvärtom: den summerar ihop, till exempel arean under en kurva eller den sträcka som har körts. Med primitiva funktioner kan du beräkna integraler exakt.

Teori

1. Den bestämda integralen

\int_a^b f(x)\,dx

Talen $\displaystyle a$ och $\displaystyle b$ kallas undre och övre integrationsgräns, och $\displaystyle dx$ visar att $\displaystyle x$ är variabeln. Om $\displaystyle f(x)\ge0$ är integralen arean mellan kurvan, x-axeln och linjerna $\displaystyle x=a$ och $\displaystyle x=b$ .

2. Integralkalkylens fundamentalsats

Så beräknas en integral

\int_a^b f(x)\,dx=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-\nobreak F(a)

Här är $\displaystyle F$ en primitiv funktion till $\displaystyle f$ . Konstanten $\displaystyle C$ behövs inte, eftersom den tar ut sig i subtraktionen.

3. Tecken och area

Om grafen ligger ovanför x-axeln är integralen positiv och lika med arean.
Om grafen ligger under x-axeln är integralen negativ. Arean är då integralens belopp.
Om grafen byter sida räknas delarna med olika tecken. För den totala arean beräknar du varje del för sig.

\text{total area}=\int_a^b|f(x)|\,dx

4. Area mellan två kurvor

Om $\displaystyle f(x)\ge g(x)$ i intervallet, alltså om $\displaystyle f$ ligger överst, är arean mellan kurvorna

\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx

Fördjupning: i högre kurser beräknas också areor i polära koordinater och volymer med integraler.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Area under en parabel

Uppgift: Beräkna arean mellan $\displaystyle y=x^2$ och x-axeln när $\displaystyle 0\le x\le2$ .

Exempel 2: Area mellan två kurvor

Uppgift: Beräkna arean mellan $\displaystyle y=x$ och $\displaystyle y=x^2$ .

Exempel 3: Area under x-axeln

Uppgift: Beräkna $\displaystyle \displaystyle\int_0^2(x^2-4)\,dx$ och arean mellan kurvan och x-axeln i samma intervall.

Exempel 4: Funktion från derivata

Uppgift: Bestäm $\displaystyle f$ om $\displaystyle f'(x)=3x^2+2x$ och $\displaystyle f(0)=1$ .

Interaktiva funktioner

Arean under en parabel

Integralen $\displaystyle \displaystyle\int_0^b x^2\,dx=\dfrac{b^3}{3}$ .

Övre gräns: $\displaystyle b=2$

\int_0^{2}x^2\,dx=\dfrac{2^3}{3}\approx\nobreak 2{,}667

Arean under parabeln

Lodrät axel: y

−10123−1012345678910

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=x^2$

Skuggat område från $\displaystyle x=0$ till $\displaystyle x=2$ .

Integral med tecken

Funktionen är $\displaystyle f(x)=x^2-1$ , som är negativ mellan $\displaystyle -1$ och 1. En primitiv funktion är $\displaystyle \frac{x^3}{3}-x$ .

Undre gräns: $\displaystyle a=0$

Övre gräns: $\displaystyle b=2$

\int_{0}^{2}(x^2-\nobreak 1)\,dx=0{,}667-\nobreak 0\approx\nobreak 0{,}667

Integralen är positiv: mer av området ligger ovanför x-axeln.

Området mellan kurvan och x-axeln

Lodrät axel: y

−2−1012−2−101234

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=x^2-1$

Skuggat område från $\displaystyle x=0$ till $\displaystyle x=2$ .

Area mellan linjen och parabeln

Arean mellan $\displaystyle y=x$ och $\displaystyle y=x^2$ från 0 till $\displaystyle b$ , där $\displaystyle 0\le b\le1$ .

Övre gräns: $\displaystyle b=1$

\int_0^{1}(x-\nobreak x^2)\,dx=\dfrac{1^2}{2}-\nobreak \dfrac{1^3}{3}\approx\nobreak 0{,}1667

Vanliga misstag

Att räkna $\displaystyle F(a)-F(b)$ i stället för $\displaystyle F(b)-F(a)$ .
Att svara med en negativ area. En area är alltid positiv.
Att missa att funktionen byter tecken i intervallet.
Att integrera undre minus övre kurva när arean mellan två kurvor beräknas.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra integraler och area

Viktigt att tänka på

Skissa funktionen och området innan du räknar.
Ta reda på var funktionen byter tecken.
Skriv mellanledet med hakparentes, $\displaystyle \big[F(x)\big]_a^b$ , så blir insättningen tydlig.
Kontrollera den primitiva funktionen genom att derivera.

Testa dig själv1/3

Beräkna $\displaystyle \displaystyle\int_1^3 2x\,dx$ .

Testa att du förstått

Träna uppgifter i integraler för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här