Kapitel 1.4.1: Polynomfunktioner av grad 2 | Matematik 3

Bakgrund

Kvadratiska funktioner är centrala i algebra och modellering. Deras grafer är parabler och används bland annat i fysik för kastbanor, i ekonomi för optimering och i teknik för formanalys.

Teori

Definition och allmän form

f(x)=ax^2+\nobreak bx+\nobreak c,\quad\allowbreak a\neq\nobreak 0

Koefficienten $\displaystyle a$ avgör om parabeln öppnar uppåt ( $\displaystyle a>0$ ) eller nedåt ( $\displaystyle a<0$ ) och hur smal den är. Tillsammans med $\displaystyle a$ bestämmer $\displaystyle b$ var symmetrilinjen ligger. Konstanten $\displaystyle c$ är y-koordinaten där grafen skär y-axeln.

Grafen till en andragradsfunktion

Symmetrilinje: $\displaystyle x=-\dfrac{b}{2a}$ . Parabeln är spegelsymmetrisk kring den.
Vertex: parabelns lägsta eller högsta punkt, som ligger på symmetrilinjen.
Skärning med y-axeln: $\displaystyle (0;\ c)$ , eftersom $\displaystyle f(0)=c$ .
Skärningar med x-axeln: lösningarna till $\displaystyle f(x)=0$ .

Viktiga formler

Vertex har koordinaterna

x_v=-\nobreak \dfrac{b}{2a},\qquad\allowbreak y_v=\nobreak f(x_v)

Nollställena ges av lösningsformeln, där diskriminanten $\displaystyle D=b^2-4ac$ står under rottecknet:

x=\dfrac{-\nobreak b\pm\nobreak \sqrt{b^2-\nobreak 4ac}}{2a}

$\displaystyle D>0$ : två reella nollställen
$\displaystyle D=0$ : ett dubbelt nollställe, vertex ligger på x-axeln
$\displaystyle D<0$ : inga reella nollställen

Olika former

Standardform: $\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c$
Vertexform: $\displaystyle f(x)=a(x-h)^2+k$ , där vertex är $\displaystyle (h;\ k)$
Faktoriserad form: $\displaystyle f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ , där $\displaystyle x_1$ och $\displaystyle x_2$ är nollställena

Förflyttningar och förändringar av grafen

Lodrät förskjutning med $\displaystyle c$ eller $\displaystyle k$ .
Vågrät förskjutning med $\displaystyle h$ i vertexform.
Större $\displaystyle |a|$ ger en smalare parabel, mindre $\displaystyle |a|$ en bredare.
Byter $\displaystyle a$ tecken speglas parabeln.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Analys av en andragradsfunktion

Uppgift: Bestäm symmetrilinje, vertex, skärning med y-axeln och nollställen för $\displaystyle f(x)=2x^2-4x-2$ .

Exempel 2: Bollkast

Uppgift: En boll kastas rakt upp. Höjden i meter efter $\displaystyle t$ sekunder är $\displaystyle h(t)=-4{,}9t^2+20t$ . När når bollen sin högsta punkt, hur högt kommer den och när landar den?

Interaktiva funktioner

Parabelanalys

Ändra $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ och $\displaystyle c$ i $\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c$ .

$\displaystyle a=2$

$\displaystyle b=-4$

$\displaystyle c=-2$

2x^{2}-\nobreak 4x-\nobreak 2=\nobreak 0

Diskriminanten är uttrycket under rottecknet i lösningsformeln $\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ :

D=\nobreak b^2-\nobreak 4ac=(-\nobreak 4)^2-\nobreak 4\cdot\nobreak 2\cdot\nobreak (-\nobreak 2)=\nobreak 32

Eftersom $\displaystyle D>0$ finns två reella lösningar.

x_1\approx-\nobreak 0{,}4142,\quad\allowbreak x_2\approx\nobreak 2{,}4142

Parabeln och dess skärningar med x-axeln

Lodrät axel: y

−3−2−1012345−5−4−3−2−10123

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=2x^{2}-4x-2$

Markerade punkter (ungefär):

Lösning: (−0,4142; 0)
Lösning: (2,4142; 0)

Kastparabel

$\displaystyle h(t)=-4{,}9t^2+v_0t$ , där $\displaystyle v_0$ är starthastigheten.

Starthastighet: $\displaystyle v_0=20\text{ m/s}$

\begin{aligned}t_{\text{topp}}&=\dfrac{v_0}{9{,}8}\approx\nobreak 2{,}04\text{ s}\\h_{\max}&\approx\nobreak 20{,}4\text{ m}\\t_{\text{landning}}&=\dfrac{v_0}{4{,}9}\approx\nobreak 4{,}08\text{ s}\end{aligned}

Höjden som funktion av tiden

Lodrät axel: h (meter)

012345051015202530

Vågrät axel: t (sekunder)

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 5.

Heldragen: $\displaystyle h(t)=-4{,}9t^2+v_0t$

Markerade punkter (ungefär):

Högsta punkt: (2,0408; 20,4082)

Från standardform till vertexform

Kvadratkomplettering ger $\displaystyle f(x)=a(x-h)^2+k$ , där $\displaystyle h=-\frac{b}{2a}$ och $\displaystyle k=f(h)$ .

$\displaystyle a=2$

$\displaystyle b=-12$

$\displaystyle c=7$

f(x)=2x^{2}-\nobreak 12x+\nobreak 7

f(x)=2(x-\nobreak 3)^2-\nobreak 11

Vertex ligger i $\displaystyle (3;\ -11)$ .

Vanliga misstag

Förväxla standardform och vertexform.
Glömma tecknet på a när parabelns riktning bestäms.
Glömma det ena tecknet i $\displaystyle \pm$ i lösningsformeln.
Missförstå diskriminantens betydelse.
Glömma enheter i tillämpade uppgifter.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra grad 2-funktioner

Viktigt att tänka på

Identifiera a, b, c snabbt i standardformen.
Växla mellan standard-, vertex- och faktorform.
Träna intuition för hur koefficienter flyttar/formar grafen.
Tolka resultat i kontext vid tillämpade uppgifter.
Utgå från grundparabeln $\displaystyle y=x^2$ vid snabba skisser.

Fördjupning för högre betyg

1. Kvadratkomplettering

Bryt ut $\displaystyle a$ ur de två första termerna och komplettera till en jämn kvadrat:

\begin{aligned}&2x^2-\nobreak 12x+\nobreak 7\\&=2(x^2-\nobreak 6x)+\nobreak 7\\&=2\big((x-\nobreak 3)^2-\nobreak 9\big)+\nobreak 7\\&=2(x-\nobreak 3)^2-\nobreak 11\end{aligned}

Vertex är alltså $\displaystyle (3;\ -11)$ .

2. Symmetri

Parabeln är spegelsymmetrisk kring symmetrilinjen. Två punkter med samma y-värde ligger lika långt från den, så nollställena har alltid symmetrilinjen mitt emellan sig.

3. Area under en parabel

Arean mellan en parabel och x-axeln beräknas med integraler, som behandlas i kapitel 3.

4. Tillämpningar i fysik

Kast under konstant acceleration beskrivs av andragradsfunktioner, som i exempel 2.

5. Komplexa rötter (Ma4)

När diskriminanten är negativ finns inga reella nollställen. Med komplexa tal finns ändå två lösningar till ekvationen.

Testa dig själv

Testa dig själv: Andragradsfunktioner1/3

Var ligger symmetrilinjen för $\displaystyle f(x)=x^2-6x+5$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här