Gymnasiet
Ma3
Kapitel 1.2

Polynomekvationer

Polynomekvationer är en kärndel av algebra och funktionslära och används i modellering inom naturvetenskap, teknik och ekonomi.

På den här sidan

Bakgrund

I Ma3 fördjupar du metoder för att lösa polynomekvationer och tolka lösningarna algebraiskt och grafiskt.

Teori

Polynom och grad

Ett polynom av grad n\displaystyle n kan skrivas på formen nedan. Talen an,…,a0\displaystyle a_n,\ldots,a_0 är koefficienter, och den ledande koefficienten an\displaystyle a_n får inte vara 0.

P(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0P(x)=a_nx^n+a_{n-\nobreak 1}x^{n-\nobreak 1}+\ldots+a_1x+a_0
  • 2x3−4x+1\displaystyle 2x^3-4x+1 har grad 3.
  • x4+2x2−5\displaystyle x^4+2x^2-5 har grad 4.

Polynomekvationer

En polynomekvation får man när ett polynom sätts lika med 0:

anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0=0a_nx^n+a_{n-\nobreak 1}x^{n-\nobreak 1}+\ldots+a_1x+a_0=\nobreak 0

Lösningarna kallas rötter. De är samma tal som polynomets nollställen, alltså de x-värden där grafen y=P(x)\displaystyle y=P(x) skär eller nuddar x-axeln. En ekvation av grad n\displaystyle n har högst n\displaystyle n reella rötter.

Fördjupning (Ma4): algebrans fundamentalsats

Räknar man även med komplexa tal och multiplicitet har en polynomekvation av grad n\displaystyle n exakt n\displaystyle n rötter.

Metoder för att lösa polynomekvationer

1. Faktorisering och nollproduktmetoden

Skriv vänsterledet som en produkt. En produkt är 0 om och endast om minst en faktor är 0.

x2−5x+6=0(x−2)(x−3)=0\begin{aligned}x^2-\nobreak 5x+\nobreak 6&=\nobreak 0\\(x-\nobreak 2)(x-\nobreak 3)&=\nobreak 0\end{aligned}

Det ger x=2\displaystyle x=2 eller x=3\displaystyle x=3. På samma sätt har x(x−4)(x+2)=0\displaystyle x(x-4)(x+2)=0 lösningarna x=0\displaystyle x=0, x=4\displaystyle x=4 och x=−2\displaystyle x=-2.

2. Kvadratkomplettering

Flytta konstanten till högerledet. Addera sedan kvadraten på halva x-koefficienten, här (62)2=9\displaystyle \left(\frac{6}{2}\right)^2=9, till båda leden.

x2+6x+5=0x2+6x=−5x2+6x+9=−5+9(x+3)2=4\begin{aligned}x^2+\nobreak 6x+\nobreak 5&=\nobreak 0\\x^2+\nobreak 6x&=\nobreak -\nobreak 5\\x^2+\nobreak 6x+\nobreak 9&=\nobreak -\nobreak 5+\nobreak 9\\(x+\nobreak 3)^2&=\nobreak 4\end{aligned}

Ett tal i kvadrat är 4 om talet är 2\displaystyle 2 eller −2\displaystyle -2. Alltså är x+3=±2\displaystyle x+3=\pm2, vilket ger x=−1\displaystyle x=-1 eller x=−5\displaystyle x=-5.

3. pq-formeln

För en andragradsekvation på formen x2+px+q=0\displaystyle x^2+px+q=0 ger kvadratkomplettering den allmänna formeln:

x=−p2±(p2)2−qx=-\nobreak \dfrac{p}{2}\pm\nobreak \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-\nobreak q}

För x2−4x−5=0\displaystyle x^2-4x-5=0 är p=−4\displaystyle p=-4 och q=−5\displaystyle q=-5:

x=2±22−(−5)=2±9=2±3x=2\pm\nobreak \sqrt{2^2-\nobreak (-\nobreak 5)}=2\pm\nobreak \sqrt{9}=\nobreak 2\pm\nobreak 3

Lösningarna är x=5\displaystyle x=5 och x=−1\displaystyle x=-1.

4. Faktorsatsen och polynomdivision

För ekvationer av högre grad: hitta en rot k\displaystyle k genom att pröva delare till konstanttermen. Dividera sedan bort faktorn (x−k)\displaystyle (x-k), så att det återstår ett polynom av lägre grad.

x3−3x2−4x+12=(x−2)(x2−x−6)=(x−2)(x−3)(x+2)\begin{aligned}&x^3-\nobreak 3x^2-\nobreak 4x+\nobreak 12\\&=(x-\nobreak 2)(x^2-\nobreak x-\nobreak 6)\\&=(x-2)(x-3)(x+2)\end{aligned}

Grafisk tolkning av polynomekvationer

Lösningarna till P(x)=0\displaystyle P(x)=0 är x-koordinaterna där grafen till y=P(x)\displaystyle y=P(x) skär eller nuddar x-axeln. Grafen hjälper dig att se hur många reella rötter det finns och ungefär var de ligger.

Grafen skär x-axeln vid ekvationens tre rötter
Lodrät axel: y
−2−1012−3−2−10123

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

  • Heldragen: y=x3−x\displaystyle y=x^3-x

Markerade punkter (ungefär):

  • Rot: (−1; 0)
  • Rot: (0; 0)
  • Rot: (1; 0)

Algebraiskt: x3−x=x(x2−1)=x(x+1)(x−1)\displaystyle x^3-x=x(x^2-1)=x(x+1)(x-1). Ekvationen x3−x=0\displaystyle x^3-x=0 har därför rötterna x=−1\displaystyle x=-1, x=0\displaystyle x=0 och x=1\displaystyle x=1, precis där grafen skär x-axeln.

Interaktiv träning

Pröva rötter till en tredjegradsekvation

Skriv koefficienterna i ax3+bx2+cx+d=0\displaystyle ax^3+bx^2+cx+d=0 och se om 1, 2 eller 3 är rötter.

x3−6x2+11x−6=0x^{3}-\nobreak 6x^{2}+\nobreak 11x-\nobreak 6=\nobreak 0

Om P(k)=0\displaystyle P(k)=0 är k\displaystyle k en rot och (x−k)\displaystyle (x-k) en faktor.

P(1)=0 ⇒ x=1 a¨r en rotP(1)=\nobreak 0\ \Rightarrow\ x=\nobreak 1\ \text{är en rot}P(2)=0 ⇒ x=2 a¨r en rotP(2)=\nobreak 0\ \Rightarrow\ x=\nobreak 2\ \text{är en rot}P(3)=0 ⇒ x=3 a¨r en rotP(3)=\nobreak 0\ \Rightarrow\ x=\nobreak 3\ \text{är en rot}

Lådans volym

En låda utan lock viks av en kartong som är 30 cm gånger 20 cm, där kvadrater med sidan x\displaystyle x cm klipps bort i hörnen. Volymen är V(x)=(30−2x)(20−2x)x\displaystyle V(x)=(30-2x)(20-2x)x där 0<x<10\displaystyle 0<x<10.

Kvadratens sida: x=3,9 cm\displaystyle x=3{,}9\text{ cm}

V(3,9)≈1056,3 cm3V(3{,}9)\approx\nobreak 1056{,}3\ \text{cm}^3

Derivatan V′(x)=12x2−200x+600\displaystyle V'(x)=12x^2-200x+600 visar om volymen ökar (positivt värde) eller minskar (negativt värde) när x\displaystyle x ökar:

V′(3,9)≈2,5V'(3{,}9)\approx\nobreak 2{,}5

Derivatan är positiv: volymen ökar om x ökar en aning. Andraderivatan är V′′(3,9)≈−106,4\displaystyle V''(3{,}9)\approx-106{,}4.

pq-formeln och diskriminanten

Ange p\displaystyle p och q\displaystyle q i x2+px+q=0\displaystyle x^2+px+q=0. Uttrycket under rottecknet avgör antalet reella lösningar.

(p2)2−q=−9\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-\nobreak q=\nobreak -\nobreak 9

Uttrycket under rottecknet är negativt. Det finns inga reella lösningar, och grafen till y=x2+px+q\displaystyle y=x^2+px+q skär inte x-axeln.

Fördjupning (Ma4): med komplexa tal, där i2=−1\displaystyle i^2=-1, blir lösningarna

x=−2±3ix=\nobreak -\nobreak 2\pm\nobreak 3i

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Lös en tredjegradsekvation

Uppgift: Lös ekvationen x3−6x2+11x−6=0\displaystyle x^3-6x^2+11x-6=0.

Exempel 2: Lådan med störst volym

Uppgift: Från en kartong som är 30 cm gånger 20 cm klipps lika stora kvadrater med sidan x\displaystyle x cm bort i hörnen. Kanterna viks upp till en låda utan lock. Bestäm x\displaystyle x så att volymen blir så stor som möjligt.

Exempel 3: Ekvation utan reella lösningar

Uppgift: Lös ekvationen x2+4x+13=0\displaystyle x^2+4x+13=0.

Vanliga misstag

  • Glömma att avgöra om rötter är reella eller komplexa.
  • Fel i faktorisering eller polynomindelning, särskilt med negativa tecken.
  • Förbise multipla rötter.
  • Feltolka grafen och avläsa fel skärningspunkter.
  • Missa domänvillkor i tillämpningsproblem.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra polynomekvationer

Viktigt att tänka på

  • Analysera graden och ledande koefficienten först för snabb överblick.
  • Skissa grafen tidigt för att få intuition om antal reella rötter.
  • Träna polynomindelning både för hand och med digitala verktyg.
  • Kontrollera rötterna i en andragradsekvation x2+px+q=0\displaystyle x^2+px+q=0 med sambanden x1+x2=−p\displaystyle x_1+x_2=-p och x1x2=q\displaystyle x_1x_2=q.
  • Kontrollera alltid kandidatlösningar i originalekvationen.

Testa dig själv

Testa dig själv: Polynomekvationer1/3

Vilka lösningar har x(x−5)=0\displaystyle x(x-5)=0?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Aktivera JavaScript för att använda formulär och interaktiva verktyg. Sidans innehåll och länkar kan läsas utan JavaScript.