Kapitel 1.1.1: Allt om polynom | Matematik 3

Bakgrund

I Ma3b/Ma3c fördjupas kunskaperna om polynom, deras egenskaper och hur de används för att modellera olika fenomen.

Teori

Definition av polynom

Ett polynom är en summa av termer där variabler upphöjs till icke-negativa heltal.

P(x)=a_nx^n+a_{n-\nobreak 1}x^{n-\nobreak 1}+\ldots+a_1x+a_0

$\displaystyle a_n,\ldots,a_0$ är koefficienter och $\displaystyle n$ är graden.

Grad av ett polynom

$\displaystyle 3x^4+2x^2-5x+1$ har grad 4.
$\displaystyle x^3-7$ har grad 3.
$\displaystyle 5$ har grad 0.

Nollställen till polynom

Nollställen är de $\displaystyle x$ där $\displaystyle P(x)=0$ .

Viktigt

Ett polynom av grad $\displaystyle n$ har högst $\displaystyle n$ reella nollställen.

Faktorisering av polynom

Om $\displaystyle P(a)=0$ , alltså om $\displaystyle a$ är ett nollställe, så är $\displaystyle (x-a)$ en faktor i $\displaystyle P(x)$ (faktorsatsen). Konjugatregeln ger till exempel:

x^2-\nobreak 4=(x+\nobreak 2)(x-\nobreak 2)

Bryt först ut den gemensamma faktorn $\displaystyle x$ . Faktorisera sedan andragradsuttrycket: två tal med produkten $\displaystyle -6$ och summan $\displaystyle -1$ är $\displaystyle 2$ och $\displaystyle -3$ .

\begin{aligned}x^3-\nobreak x^2-\nobreak 6x&=x(x^2-\nobreak x-\nobreak 6)\\&=x(x+2)(x-3)\end{aligned}

Polynomdivision

Vid division av polynom får du en kvot och en rest, precis som vid division av heltal. Om resten är 0 är divisorn en faktor.

Exempel: division som går jämnt upp

Uppgift: Dividera $\displaystyle x^3-2x^2-4x+8$ med $\displaystyle x-2$ .

Gruppera termerna två och två så att faktorn $\displaystyle (x-2)$ syns:

\begin{aligned}&x^3-\nobreak 2x^2-\nobreak 4x+\nobreak 8\\&=x^2(x-\nobreak 2)-\nobreak 4(x-\nobreak 2)\\&=(x-2)(x^2-4)\end{aligned}

Kvoten är $\displaystyle x^2-4$ och resten är $\displaystyle 0$ . Eftersom $\displaystyle x^2-4=(x-2)(x+2)$ blir den fullständiga faktoriseringen $\displaystyle (x-2)^2(x+2)$ . Faktorn $\displaystyle (x-2)$ förekommer två gånger, så $\displaystyle x=2$ är ett dubbelt nollställe (multiplicitet 2).

Polynomfunktioner

Grad 1: linjär funktion, grafen är en rät linje.
Grad 2: andragradsfunktion, grafen är en parabel.
Grad 3: tredjegradsfunktion, grafen kan ha upp till två extrempunkter.
Grad $\displaystyle n$ : grafen kan ha upp till $\displaystyle n-1$ extrempunkter.

Observera

Grafen skär eller nuddar x-axeln en gång för varje olikt reellt nollställe. Vid ett dubbelt nollställe nuddar grafen x-axeln utan att byta tecken.

Extrempunkter och symmetri

Extrempunkter (lokala toppar och dalar) bestäms med derivatan, som du lär dig i kapitel 2. Symmetri kan avgöras direkt från funktionsuttrycket:

Jämna funktioner, där $\displaystyle f(-x)=f(x)$ , är symmetriska kring y-axeln. Ett polynom med bara jämna exponenter är jämnt.
Udda funktioner, där $\displaystyle f(-x)=-f(x)$ , är symmetriska kring origo. Ett polynom med bara udda exponenter är udda.

Polynomets beteende för stora x-värden

För stora värden på $\displaystyle |x|$ växer den ledande termen $\displaystyle a_nx^n$ snabbast och styr därför grafens ändbeteende. Tecknet på $\displaystyle a_n$ och om $\displaystyle n$ är jämnt eller udda avgör åt vilket håll grafen går.

Interaktivt polynomlabb

Ändbeteende

Ändra den ledande koefficienten $\displaystyle a$ och graden $\displaystyle n$ i $\displaystyle y=ax^n$ .

Ledande koefficient: $\displaystyle a=2$

Grad: $\displaystyle n=4$

y=\nobreak 2x^{4}

Graden är jämn och den ledande koefficienten är positiv.

\begin{aligned}x\to\nobreak -\nobreak \infty\ &\Rightarrow\ y\to\nobreak +\nobreak \infty\\x\to\nobreak +\nobreak \infty\ &\Rightarrow\ y\to\nobreak +\nobreak \infty\end{aligned}

Grafen till den valda ledande termen

Lodrät axel: y

−2−1012−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1012345678910

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=2x^{4}$

Vid jämn grad går grafens båda ändar åt samma håll. Ett polynom med fler termer får samma ändbeteende som sin ledande term.

Pröva nollställen med faktorsatsen

Testa om ett värde är nollställe till $\displaystyle P(x)=x^3-4x^2+x+6$ .

Ange ett x-värde

P(2)=\nobreak 0

Värdet är 0. Alltså är $\displaystyle x=2$ ett nollställe och $\displaystyle (x-2)$ en faktor.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Faktorisering och nollställen

Uppgift: Faktorisera $\displaystyle P(x)=x^3-4x^2+x+6$ och bestäm alla nollställen.

Exempel 2: Extrempunkter (förhandstitt på derivata)

Uppgift: Funktionen $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-9x+5$ har derivatan $\displaystyle f'(x)=3x^2-6x-9$ . Bestäm funktionens extrempunkter.

Exempel 3: Symmetri, nollställen och ändbeteende

Uppgift: Undersök symmetri, ändbeteende och nollställen för $\displaystyle P(x)=2x^4-3x^2+1$ .

Vanliga misstag

Missa gemensamma faktorer före annan faktorisering.
Förväxla grad med antal reella nollställen.
Anta att alla polynom har reella nollställen.
Glömma multiplicitet vid tolkning av nollställen.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra polynom

Viktigt att tänka på

Börja faktorisering med att ta ut gemensam faktor.
Använd polynomdivision för att verifiera gissade nollställen.
Analysera ledande term för att förstå ändbeteendet snabbt.
Fördjupning (Ma4): ett polynom av grad $\displaystyle n$ har exakt $\displaystyle n$ nollställen om även komplexa tal och multiplicitet räknas.
Kontrollera derivatans teckenväxling när du klassificerar extrempunkter (kapitel 3).

Testa dig själv

Testa dig själv: Polynom1/3

Vilken är konstanttermen i $\displaystyle 5x^3-2x+8$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här