Kapitel 1.2.1: Enkla polynomekvationer | Matematik 3

Teori

Med enkla polynomekvationer menar vi här ekvationer där den högsta exponenten för variabeln är 1, 2 eller 3. Allmänt kan en polynomekvation av grad $\displaystyle n$ skrivas

ax^n+\nobreak bx^{n-\nobreak 1}+\nobreak \ldots+\nobreak k=\nobreak 0

där $\displaystyle a,b,\ldots,k$ är konstanter, $\displaystyle a\neq0$ och $\displaystyle n$ är ett positivt heltal.

Linjära ekvationer (grad 1)

Subtrahera $\displaystyle b$ från båda leden och dividera sedan båda leden med $\displaystyle a$ :

\begin{aligned}ax+\nobreak b&=\nobreak 0\\ax&=\nobreak -\nobreak b\\x&=-\nobreak \dfrac{b}{a}\end{aligned}

Villkor

Det måste gälla att $\displaystyle a\neq0$ , annars kan man inte dividera med $\displaystyle a$ och ekvationen är inte av grad 1.

Andragradsekvationer (grad 2)

ax^2+\nobreak bx+\nobreak c=\nobreak 0

Om $\displaystyle a\neq0$ ges lösningarna av lösningsformeln:

x=\dfrac{-\nobreak b\pm\nobreak \sqrt{b^2-\nobreak 4ac}}{2a}

Diskriminanten $\displaystyle D=b^2-4ac$ avgör antalet reella lösningar:

$\displaystyle D>0$ : två reella lösningar.
$\displaystyle D=0$ : en dubbelrot, alltså en lösning som räknas två gånger.
$\displaystyle D<0$ : inga reella lösningar.

Tredjegradsekvationer (grad 3)

ax^3+\nobreak bx^2+\nobreak cx+\nobreak d=\nobreak 0

En tredjegradsekvation med reella koefficienter har alltid minst en reell rot, eftersom grafens ändar går åt olika håll. Rötterna hittas ofta genom att pröva enkla heltal, sedan polynomdivision, eller med numeriska metoder.

Metoder för att lösa polynomekvationer

Faktorisering: faktorisera och sätt varje faktor lika med noll.
Kvadratkomplettering: skriv om uttrycket till en jämn kvadrat, till exempel $\displaystyle (x+3)^2$ .
Substitution: byt ett uttryck mot en ny variabel, till exempel $\displaystyle u=x^2$ .
Polynomdivision: dividera bort en känd faktor $\displaystyle (x-k)$ .
Grafisk metod: läs av var grafen skär x-axeln.

Interaktiv träning

Linjär ekvation

Ändra $\displaystyle a$ och $\displaystyle b$ i $\displaystyle ax+b=0$ .

$\displaystyle a=3$

$\displaystyle b=-6$

3x-\nobreak 6=\nobreak 0\ \Rightarrow\ x=-\nobreak \dfrac{-\nobreak 6}{3}=\nobreak 2

Andragradsekvation och diskriminant

Ändra $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ och $\displaystyle c$ i $\displaystyle ax^2+bx+c=0$ .

$\displaystyle a=1$

$\displaystyle b=-5$

$\displaystyle c=6$

x^{2}-\nobreak 5x+\nobreak 6=\nobreak 0

Diskriminanten är uttrycket under rottecknet i lösningsformeln $\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ :

D=\nobreak b^2-\nobreak 4ac=(-\nobreak 5)^2-\nobreak 4\cdot\nobreak 1\cdot\nobreak 6=\nobreak 1

Eftersom $\displaystyle D>0$ finns två reella lösningar.

x_1=\nobreak 2,\quad\allowbreak x_2=\nobreak 3

Parabeln och dess skärningar med x-axeln

Lodrät axel: y

−2−1012345−2−10123456789

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=x^{2}-5x+6$

Markerade punkter (ungefär):

Lösning: (2; 0)
Lösning: (3; 0)

Tredjegradsekvation med givna rötter

Välj tre rötter. Produkten $\displaystyle (x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$ ger en ekvation med exakt de rötterna.

Första roten: $\displaystyle r_1=1$

Andra roten: $\displaystyle r_2=2$

Tredje roten: $\displaystyle r_3=3$

P(x)=(x-\nobreak 1)(x-\nobreak 2)(x-\nobreak 3)

Multiplicera ihop parenteserna:

P(x)=x^{3}-\nobreak 6x^{2}+\nobreak 11x-\nobreak 6

Testa ett x-värde

P(1)=\nobreak 0\ \Rightarrow\ \text{en rot}

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Linjär ekvation

Uppgift: Lös ekvationen $\displaystyle 3x-6=0$ .

Exempel 2: Andragradsekvation med lösningsformeln

Uppgift: Lös ekvationen $\displaystyle x^2-5x+6=0$ .

Exempel 3: Tredjegradsekvation

Uppgift: Lös ekvationen $\displaystyle x^3-6x^2+11x-6=0$ .

Exempel 4: Faktorisering

Uppgift: Lös ekvationen $\displaystyle x^2-3x-10=0$ genom faktorisering.

Exempel 5: Kvadratkomplettering

Uppgift: Lös ekvationen $\displaystyle x^2+6x+5=0$ med kvadratkomplettering.

Vanliga misstag

Kontrollerar inte lösningar i ursprungsekvationen.
Teckenfel i lösningsformeln, särskilt vid $\displaystyle -b$ när $\displaystyle b$ är negativt.
Feltolkar diskriminanten och antal lösningar.
Felaktig faktorisering.
Glömmer att tredjegradsekvation med reella koefficienter har minst en reell rot.

Viktiga tips för att lösa polynomekvationer

Observera

Analysera diskriminanten tidigt i andragradsekvationer.
Ta ut gemensamma faktorer innan annan faktorisering.
Testa enkla heltal först i tredjegradsekvationer.
Använd grafen som visuell kontroll av antal rötter.
Var extra noga med parenteser och tecken i formler.

Testa dig själv

Testa dig själv: Enkla polynomekvationer1/3

Lös $\displaystyle x^2-6x=0$ .

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här