Kapitel 2.3.4: Naturliga logaritmer | Matematik 3

Bakgrund

Den naturliga logaritmen $\displaystyle \ln x$ svarar på frågan: vilken exponent ska $\displaystyle e$ ha för att bli $\displaystyle x$ ? Den behövs för att lösa exponentialekvationer, till exempel när en population har fördubblats, och den förklarar faktorn $\displaystyle \ln a$ i derivatan av $\displaystyle a^x$ .

Teori

1. Den naturliga logaritmen

Den naturliga logaritmen har basen $\displaystyle e\approx2{,}718$ .

Definition

För $\displaystyle x>0$ gäller $\displaystyle y=\ln x\ \Leftrightarrow\ e^y=x$ .

$\displaystyle \ln e^x=x$ och $\displaystyle e^{\ln x}=x$ när $\displaystyle x>0$ . Funktionerna tar ut varandra.
$\displaystyle \ln1=0$ , eftersom $\displaystyle e^0=1$ .
$\displaystyle \ln e=1$ , eftersom $\displaystyle e^1=e$ .
$\displaystyle \ln x$ är bara definierad för $\displaystyle x>0$ . Den är negativ när $\displaystyle 0<x<1$ .

2. Logaritmlagar

$\displaystyle \ln(ab)=\ln a+\ln b$
$\displaystyle \ln\dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b$
$\displaystyle \ln a^n=n\ln a$

Lagarna gäller när $\displaystyle a$ och $\displaystyle b$ är positiva. Den tredje lagen är nyckeln till att lösa exponentialekvationer: exponenten flyttas ned som en faktor.

3. Koppling till derivator

Eftersom $\displaystyle a=e^{\ln a}$ kan varje exponentialfunktion skrivas med basen $\displaystyle e$ :

a^x=e^{x\ln a}

Därför är $\displaystyle D(a^x)=a^x\ln a$ , och $\displaystyle D(e^x)=e^x$ eftersom $\displaystyle \ln e=1$ .

4. Fördjupning (Ma4): derivatan av ln x

D(\ln x)=\dfrac{1}{x},\quad\allowbreak x>\nobreak 0

5. Tillämpningar

Beräkna fördubblingstid och halveringstid.
Kontinuerlig ränta och befolkningstillväxt.
Logaritmiska skalor som decibel och pH (med tiologaritmen).

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Logaritmlagar

Uppgift: Beräkna $\displaystyle \ln e^3$ , $\displaystyle \ln(e^2\cdot e^5)$ och $\displaystyle \ln\dfrac{e^4}{e^2}$ utan räknare.

Exempel 2: Exponentialekvation

Uppgift: Lös ekvationen $\displaystyle e^{2x}=10$ .

Exempel 3: Logaritmisk ekvation

Uppgift: Lös ekvationen $\displaystyle \ln(x+1)=2$ .

Exempel 4: Befolkningstillväxt

Uppgift: En bakteriekultur har $\displaystyle P(t)=1000e^{0{,}05t}$ bakterier efter $\displaystyle t$ timmar. När har antalet fördubblats, och hur snabbt växer det efter 10 timmar?

Fördjupning (Ma4): derivera en logaritm

Uppgift: Derivera $\displaystyle f(x)=\ln(x^2+1)$ .

Interaktiva funktioner

Logaritm och exponentialfunktion speglas

Graferna till $\displaystyle y=e^x$ och $\displaystyle y=\ln x$ är speglingar av varandra i linjen $\displaystyle y=x$ .

Positivt tal: $\displaystyle x=2$

\ln2\approx\nobreak 0{,}693,\quad\allowbreak e^{0{,}693}\approx\nobreak 2

Punkten $\displaystyle (2;\ 0{,}69)$ på logaritmkurvan motsvarar punkten $\displaystyle (0{,}69;\ 2)$ på exponentialkurvan. Koordinaterna har bytt plats.

Spegling i linjen y = x

Lodrät axel: y

−3−2−10123456−3−2−10123456

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=e^x$
Streckad: $\displaystyle y=\ln x$
Prickad: $\displaystyle y=x$

Markerade punkter (ungefär):

Punkt på logaritmkurvan: (2; 0,6931)
Speglad punkt: (0,6931; 2)

Kontrollera logaritmlagarna

Välj två positiva tal och jämför båda sidor av lagarna.

Första talet: $\displaystyle a=2$

Andra talet: $\displaystyle b=3$

\ln(2\cdot\nobreak 3)\approx\nobreak 1{,}792,\quad\allowbreak \ln2+\nobreak \ln3\approx\nobreak 1{,}792

\ln\dfrac{2}{3}\approx\nobreak -\nobreak 0{,}405,\quad\allowbreak \ln2-\nobreak \ln3\approx\nobreak -\nobreak 0{,}405

Lägg märke till att $\displaystyle \ln(a+b)$ inte är $\displaystyle \ln a+\ln b$ : här är $\displaystyle \ln5\approx1{,}609$ .

Lös en logaritmisk ekvation

Ekvationen $\displaystyle \ln(x+1)=c$ har lösningen $\displaystyle x=e^c-1$ .

Högerled: $\displaystyle c=2$

x=e^{2}-\nobreak 1\approx\nobreak 6{,}389

Kontroll: $\displaystyle x+1\approx7{,}389$ är positivt, så logaritmen är definierad. Lösningen ligger alltid över $\displaystyle -1$ .

Befolkningstillväxt

Antalet är $\displaystyle P(t)=1000e^{0{,}05t}$ och tillväxthastigheten $\displaystyle P'(t)=50e^{0{,}05t}$ .

Tid: $\displaystyle t=10\ \text{h}$

P(10)\approx\nobreak 1649,\quad\allowbreak P'(10)\approx\nobreak 82{,}4

Antalet bakterier

Lodrät axel: y

01020304002 0004 0006 0008 000

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 10 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 2 000.

Heldragen: $\displaystyle P(t)=1000e^{0{,}05t}$
Streckad: $\displaystyle y=2000$

Markerade punkter (ungefär):

Vald tid: (10; 1 648,72)
Fördubbling: (13,8629; 2 000)

Vanliga misstag

Att tro att $\displaystyle \ln(a+b)=\ln a+\ln b$ . Det gäller inte.
Att försöka beräkna $\displaystyle \ln x$ när $\displaystyle x\le0$ .
Att blanda ihop $\displaystyle \ln$ , med basen $\displaystyle e$ , och $\displaystyle \lg$ , med basen 10.
Att glömma kontrollera att lösningen ger en positiv logaritmand.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra naturliga logaritmer

Viktigt att tänka på

Tänk på $\displaystyle \ln x$ som "exponenten som $\displaystyle e$ behöver".
Kontrollera alltid att det som står i logaritmen är positivt.
Lär dig de tre logaritmlagarna och när de gäller.
Använd lagen $\displaystyle \ln a^n=n\ln a$ för att få ned exponenten.

Testa dig själv1/3

Lös ekvationen $\displaystyle e^x=5$ .

Testa att du förstått

Träna uppgifter i derivata för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här