Kapitel 1.3.3: Multiplicera och dividera rationella uttryck | Matematik 3

Bakgrund

Rationella uttryck är kvoter av polynom och är centrala i algebra. Multiplikation och division av sådana uttryck är grundläggande för vidare arbete med ekvationer, funktioner och analys.

Teori

Grundläggande regler

Rationella uttryck $\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$ , där $\displaystyle Q(x)\neq0$ , multipliceras och divideras med samma regler som vanliga bråk.

Multiplikation

Multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare:

\dfrac{a}{b}\cdot\nobreak \dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}

\dfrac{x+\nobreak 1}{x-\nobreak 2}\cdot\nobreak \dfrac{x-\nobreak 3}{x+\nobreak 4}=\dfrac{(x+\nobreak 1)(x-\nobreak 3)}{(x-\nobreak 2)(x+\nobreak 4)}

Faktorisera alla täljare och nämnare innan du multiplicerar ihop.
Förkorta faktorer som finns både över och under bråkstrecket.
Multiplicera ihop det som återstår, eller låt det stå kvar i faktorform.

Division

Att dividera med ett bråk är samma sak som att multiplicera med det inverterade bråket, där täljare och nämnare har bytt plats:

\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\nobreak \dfrac{d}{c}=\dfrac{ad}{bc}

Exempel: förenkla $\displaystyle \dfrac{x^2-1}{x+3}\div\dfrac{x-1}{x^2+2x-3}$ . Byt först divisionen mot multiplikation med det inverterade bråket:

\dfrac{x^2-\nobreak 1}{x+\nobreak 3}\cdot\nobreak \dfrac{x^2+\nobreak 2x-\nobreak 3}{x-\nobreak 1}

Faktorisera: $\displaystyle x^2-1=(x+1)(x-1)$ enligt konjugatregeln och $\displaystyle x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$ eftersom nollställena är $\displaystyle -3$ och $\displaystyle 1$ . Förkorta sedan $\displaystyle (x+3)$ och en faktor $\displaystyle (x-1)$ :

\begin{aligned}&\dfrac{(x+\nobreak 1)(x-\nobreak 1)\cdot\nobreak (x+\nobreak 3)(x-\nobreak 1)}{(x+\nobreak 3)(x-\nobreak 1)}\\&=(x+\nobreak 1)(x-\nobreak 1)\end{aligned}

Villkor: $\displaystyle x\neq-3$ och $\displaystyle x\neq1$ , eftersom de värdena ger division med noll i det ursprungliga uttrycket.

Viktiga tekniker

Andragradsuttryck med nollställena $\displaystyle r_1$ och $\displaystyle r_2$ : $\displaystyle ax^2+bx+c=a(x-r_1)(x-r_2)$ .
Gruppering: $\displaystyle ab+ac+db+dc=a(b+c)+d(b+c)=(a+d)(b+c)$ .
Konjugatregeln: $\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ .
Förlängning ändrar inte värdet: $\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c}$ när $\displaystyle c\neq0$ .

Villkor vid division

Alla nämnare måste vara skilda från 0. Vid division måste dessutom täljaren i det bråk man dividerar med vara skild från 0, eftersom den hamnar i nämnaren när bråket inverteras.

Fördjupning

Polynomdivision används när täljarens grad är minst lika stor som nämnarens.
Partialbråksuppdelning delar upp ett uttryck i enklare bråk, vilket används vid integraler.
Gränsvärden: förkortning används för att hantera uttryck av typen $\displaystyle \frac{0}{0}$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Multiplikation

Uppgift: Förenkla $\displaystyle \dfrac{x^2-4}{x+2}\cdot\dfrac{x+3}{x^2-9}$ .

Exempel 2: Division

Uppgift: Förenkla $\displaystyle \dfrac{x^2+2x-3}{x-1}\div\dfrac{x+3}{x^2-1}$ .

Exempel 3: Bråk i bråk

Uppgift: Förenkla $\displaystyle \dfrac{\frac1x+\frac1y}{\frac1x-\frac1y}$ .

Interaktivt labb

Multiplikation: jämför före och efter förenkling

$\displaystyle \dfrac{x^2-4}{x+2}\cdot\dfrac{x+3}{x^2-9}=\dfrac{x-2}{x-3}$

$\displaystyle x=4$

\text{ursprungligt}\approx\nobreak 2,\quad\allowbreak \text{förenklat}\approx\nobreak 2

Division: jämför före och efter förenkling

$\displaystyle \dfrac{x^2+2x-3}{x-1}\div\dfrac{x+3}{x^2-1}=x^2-1$

$\displaystyle x=2$

\text{ursprungligt}\approx\nobreak 3,\quad\allowbreak \text{förenklat}\approx\nobreak 3

Bråk i bråk

Kontrollera att $\displaystyle \dfrac{\frac1x+\frac1y}{\frac1x-\frac1y}=\dfrac{y+x}{y-x}$ för valda tal.

Värdet på

\displaystyle x

Värdet på

\displaystyle y

\dfrac{5+\nobreak 2}{5-\nobreak 2}\approx\nobreak 2{,}3333

Vanliga misstag

Glömma faktorisera före förkortning.
Fel teckenhantering vid negativa faktorer.
Inte ange domänbegränsningar.
Felaktig distributiv hantering vid omskrivning.

Vanliga frågor

Viktigt att tänka på vid rationella uttryck

Försök alltid faktorisera innan förkortning.
Kontrollera tecken noggrant i varje steg.
Skriv domänvillkor efter varje större omskrivning.
Använd substitution eller partialbråksuppdelning för komplexa uttryck.

Testa dig själv

Testa dig själv: Multiplicera och dividera rationella uttryck1/3

Vad blir $\displaystyle \dfrac{x}{3}\cdot\dfrac{6}{x^2}$ förenklat, när $\displaystyle x\neq0$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här