Kapitel 1.3.2: Ekvationer och rationella uttryck | Matematik 3

Bakgrund

I Ma3 fördjupar vi oss i ekvationer där rationella uttryck, polynom, trigonometri, exponential- och logaritmfunktioner samt absolutbelopp samverkar. Dessa metoder används i modellering inom naturvetenskap, teknik och ekonomi.

Teori

1. Rationella uttryck

Ett rationellt uttryck är en kvot av två polynom, $\displaystyle R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ , där $\displaystyle Q(x)\neq0$ . Ett exempel är

R(x)=\dfrac{x^2+\nobreak 3x-\nobreak 4}{x-\nobreak 2},\quad\allowbreak x\neq\nobreak 2

Definitionsmängd: alla x där nämnaren inte blir 0.
Förenkling: gemensamma faktorer i täljare och nämnare kan förkortas.
Addition och subtraktion kräver gemensam nämnare.
Multiplikation och division utförs som med vanliga bråk.

2. Ekvationer med rationella uttryck

En rationell ekvation har x i någon nämnare, till exempel $\displaystyle \frac{1}{x-2}+\frac{2}{x+3}=1$ . Lös den så här:

Skriv upp villkoren: nämnarna får inte vara 0.
Multiplicera båda leden med den gemensamma nämnaren. Då försvinner bråken.
Lös polynomekvationen som blir kvar.
Stryk lösningar som bryter mot villkoren. De kallas falska rötter.

3. Polynomekvationer av högre grad

Använd faktorsatsen, polynomdivision eller substitution, till exempel för $\displaystyle x^3-6x^2+11x-6=0$ .

4. Trigonometriska ekvationer (Ma3c)

Använd sambandet $\displaystyle \sin^2x+\cos^2x=1$ för att skriva om ekvationen med bara en trigonometrisk funktion. Lös sedan med enhetscirkeln.

5. Exponential- och logaritmekvationer

Ekvationen $\displaystyle 2^x=8$ löses genom att skriva 8 som $\displaystyle 2^3$ , eller med logaritmer: $\displaystyle x=\log_2 8=3$ . Ekvationen $\displaystyle \log_2(x+3)=3$ skrivs om till exponentialform: $\displaystyle x+3=2^3=8$ , alltså $\displaystyle x=5$ . Kontrollera att uttrycket i logaritmen är positivt.

6. Absolutbeloppsekvationer

Ekvationen $\displaystyle |x-2|=3$ delas upp i två fall: $\displaystyle x-2=3$ eller $\displaystyle x-2=-3$ . Det ger $\displaystyle x=5$ eller $\displaystyle x=-1$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Förenkla ett rationellt uttryck

Uppgift: Förenkla $\displaystyle \dfrac{x^2-4}{x-2}$ .

Exempel 2: Rationell ekvation

Uppgift: Lös ekvationen $\displaystyle \dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x+1}=3$ .

Exempel 3: Tredjegradsekvation

Uppgift: Lös $\displaystyle x^3-6x^2+11x-6=0$ .

Exempel 4: Trigonometrisk ekvation

Uppgift: Lös $\displaystyle \sin^2x+\cos x=1$ för $\displaystyle 0^\circ\le x\le360^\circ$ .

Exempel 5: Exponentialekvation

Uppgift: Lös $\displaystyle 2^x=8$ .

Interaktiva funktioner

Rationell ekvation med parameter

Ändra högerledet $\displaystyle k$ i $\displaystyle \dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x+1}=k$ .

$\displaystyle k=3$

Multiplicera med $\displaystyle (x-1)(x+1)$ : $\displaystyle 3x-1=k(x^2-1)$ . Samla termerna:

3x^{2}-\nobreak 3x-\nobreak 2=\nobreak 0

x\approx -\nobreak 0{,}4574\quad\text{eller}\quad x\approx\nobreak 1{,}4574

Ingen rot är 1 eller -1, så alla är giltiga lösningar.

Exponentialekvation

Lösningen till $\displaystyle b^x=N$ är $\displaystyle x=\log_b N=\dfrac{\lg N}{\lg b}$ .

Bas: $\displaystyle b=2$

Högerled: $\displaystyle N=8$

2^x=\nobreak 8\ \Rightarrow\ x=\dfrac{\lg 8}{\lg 2}\approx\nobreak 3

Absolutbeloppsekvation

Lösningarna till $\displaystyle |x-a|=b$ ligger på avståndet $\displaystyle b$ från $\displaystyle a$ .

$\displaystyle a=2$

$\displaystyle b=3$

x=\nobreak -\nobreak 1\quad\text{eller}\quad x=\nobreak 5

Rationell olikhet (fördjupning)

Pröva olika x i $\displaystyle \dfrac{x-1}{x+2}>0$ .

Testpunkt: $\displaystyle x=0$

\dfrac{x-\nobreak 1}{x+\nobreak 2}\approx\nobreak -\nobreak 0{,}5\ \le\nobreak \ 0

Lösningsmängd

Kvoten är positiv när täljare och nämnare har samma tecken: $\displaystyle x<-2$ eller $\displaystyle x>1$ .

Vanliga misstag

Glömma definitionsmängden för rationella uttryck.
Felaktig förkortning av bråk.
Missa periodiska lösningar i trigonometriska ekvationer.
Felaktig falluppdelning i absolutbeloppsekvationer.
Inte kontrollera och rensa falska rötter.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra ekvationer och rationella uttryck

Viktigt att tänka på

Kontrollera alltid definitionsmängden innan du löser.
Faktorisera fullständigt innan förkortning.
Använd enhetscirkeln och periodicitet i trigonometriska ekvationer.
Utnyttja logaritmlagar i exponential- och logaritmekvationer.
Sök faktorer/nollställen i högre gradens polynom.
Verifiera lösningar i originalekvationen.

Fördjupning för högre betyg

Avsnittet går utöver Ma3 och visar hur ekvationslösning används vidare.

Parameterframställning

En kurva kan beskrivas med en parameter $\displaystyle t$ . En cirkel med radien $\displaystyle r$ och medelpunkt i origo:

x=\nobreak r\cos t,\quad\allowbreak y=\nobreak r\sin t,\quad\allowbreak 0^\circ\le\nobreak t<360^\circ

Det används till exempel i rörelsemodeller i fysik och för kurvor i datorgrafik.

Rationella olikheter

För att lösa $\displaystyle \frac{x-1}{x+2}>0$ :

Bestäm var täljaren och nämnaren är 0: $\displaystyle x=1$ och $\displaystyle x=-2$ .
Dela in tallinjen i intervallen $\displaystyle x<-2$ , $\displaystyle -2<x<1$ och $\displaystyle x>1$ .
Pröva tecknet i en punkt i varje intervall, till exempel $\displaystyle x=-3$ , $\displaystyle x=0$ och $\displaystyle x=2$ .
Svaret är $\displaystyle x<-2$ eller $\displaystyle x>1$ .

Matrisekvationer

Ekvationssystemet $\displaystyle 2x+y=4$ , $\displaystyle x+3y=5$ kan skrivas $\displaystyle AX=B$ :

A=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix},\quad\allowbreak B=\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}

När $\displaystyle A$ har en invers gäller $\displaystyle X=A^{-1}B$ :

X=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}3&-\nobreak 1\\-\nobreak 1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1{,}4\\1{,}2\end{pmatrix}

Kontroll: $\displaystyle 2\cdot1{,}4+1{,}2=4$ och $\displaystyle 1{,}4+3\cdot1{,}2=5$ .

Testa dig själv

Testa dig själv: Ekvationer med rationella uttryck1/3

Lös $\displaystyle \dfrac{6}{x}=3$ .

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här