Mer utmanande polynomekvationer

Lösning

1. Steg 1. Pröva $\displaystyle x=1$: $\displaystyle 1-6+11-6=0$. Alltså är $\displaystyle (x-1)$ en faktor.

   $$x^3-\nobreak 6x^2+\nobreak 11x-\nobreak 6=(x-\nobreak 1)(x^2-\nobreak 5x+\nobreak 6)$$

2. Steg 2. Faktorisera andragradsfaktorn och använd nollproduktmetoden.

   $$(x-\nobreak 1)(x-\nobreak 2)(x-\nobreak 3)=\nobreak 0$$

Svar: $\displaystyle x=1$, $\displaystyle x=2$ eller $\displaystyle x=3$.

Lösning

1. Steg 1. Roten 2 ger faktorn $\displaystyle (x-2)$. Gruppering visar kvoten.

   $$\begin{aligned}&x^3-\nobreak 2x^2-\nobreak 4x+\nobreak 8\\&=x^2(x-\nobreak 2)-\nobreak 4(x-\nobreak 2)\\&=(x-2)(x^2-4)\end{aligned}$$

2. Steg 2. Faktorisera $\displaystyle x^2-4$ med konjugatregeln.

   $$(x-\nobreak 2)(x-\nobreak 2)(x+\nobreak 2)=(x-\nobreak 2)^2(x+\nobreak 2)$$

Svar: $\displaystyle (x-2)^2(x+2)$. Roten $\displaystyle x=2$ är dubbel (multiplicitet 2) och $\displaystyle x=-2$ är enkel.

Lösning

1. Steg 1. Låt $\displaystyle u=x^2$. Då är $\displaystyle x^4=u^2$.

   $$u^2-\nobreak 5u+\nobreak 4=\nobreak 0$$

2. Steg 2. Faktorisera: talen $\displaystyle -1$ och $\displaystyle -4$ har produkten 4 och summan $\displaystyle -5$.

   $$(u-\nobreak 1)(u-\nobreak 4)=\nobreak 0\ \Rightarrow\ u=\nobreak 1\ \text{eller}\ u=\nobreak 4$$

3. Steg 3. Gå tillbaka till $\displaystyle x$: $\displaystyle x^2=1$ eller $\displaystyle x^2=4$.

   $$x=\nobreak \pm\nobreak 1\quad\text{eller}\quad x=\nobreak \pm\nobreak 2$$

Svar: $\displaystyle x=-2,\ -1,\ 1,\ 2$.

Lösning

1. Steg 1. Konstanttermen $\displaystyle -6$ har delarna $\displaystyle \pm1,\pm2,\pm3,\pm6$ och den ledande koefficienten 2 har delarna $\displaystyle \pm1,\pm2$. Kandidaterna är därför:

   $$\pm\nobreak 1,\ \allowbreak \pm\nobreak 2,\ \allowbreak \pm\nobreak 3,\ \allowbreak \pm\nobreak 6,\ \allowbreak \pm\nobreak \tfrac12,\ \allowbreak \pm\nobreak \tfrac32$$

2. Steg 2. Pröva $\displaystyle x=2$.

   $$2\cdot\nobreak 8+\nobreak 3\cdot\nobreak 4-\nobreak 11\cdot\nobreak 2-\nobreak 6=16+\nobreak 12-\nobreak 22-\nobreak 6=\nobreak 0$$

3. Steg 3. Faktorn $\displaystyle (x-2)$ divideras bort. Kontrollera genom att multiplicera ihop.

   $$2x^3+\nobreak 3x^2-\nobreak 11x-\nobreak 6=(x-\nobreak 2)(2x^2+\nobreak 7x+\nobreak 3)$$

4. Steg 4. Lös $\displaystyle 2x^2+7x+3=0$ med lösningsformeln.

   $$x=\dfrac{-\nobreak 7\pm\nobreak \sqrt{49-\nobreak 24}}{4}=\dfrac{-\nobreak 7\pm\nobreak 5}{4}$$

Svar: $\displaystyle x=2$, $\displaystyle x=-\frac12$ eller $\displaystyle x=-3$. Alla tre rötterna finns i kandidatlistan.

Lösning

1. Steg 1. Kalla den tredje roten $\displaystyle r$. Summan av rötterna är $\displaystyle -b=6$.

   $$1+\nobreak 2+\nobreak r=\nobreak 6\ \Rightarrow\ r=\nobreak 3$$

2. Steg 2. Kontrollera med produkten, som ska vara $\displaystyle -d=6$.

   $$1\cdot\nobreak 2\cdot\nobreak 3=\nobreak 6$$

3. Steg 3. Koefficienten $\displaystyle p$ är summan av rötternas parvisa produkter.

   $$p=1\cdot\nobreak 2+\nobreak 1\cdot\nobreak 3+\nobreak 2\cdot\nobreak 3=\nobreak 11$$

Svar: Den tredje roten är 3 och $\displaystyle p=11$. Kontroll med $\displaystyle x=1$: $\displaystyle 1-6+11-6=0$.

Lösning

1. Steg 1. Gruppera två och två och bryt ut gemensam faktor.

   $$x^2(x-\nobreak 1)+\nobreak (x-\nobreak 1)=(x-\nobreak 1)(x^2+\nobreak 1)$$

2. Steg 2. Faktorn $\displaystyle x-1$ ger roten 1. Faktorn $\displaystyle x^2+1$ är alltid minst 1, så den ger inga reella rötter.

3. Steg 3. Fördjupning (Ma4): med komplexa tal är $\displaystyle x^2=-1$ lösbar.

   $$x=\nobreak \pm\nobreak i$$

Svar: Den enda reella roten är $\displaystyle x=1$. Med komplexa tal tillkommer $\displaystyle x=\pm i$.

Lösning

1. Steg 1. Pröva delare till 4. Talet 4 ger $\displaystyle 64-60-4=0$, så $\displaystyle (x-4)$ är en faktor.

   $$x^3-\nobreak 15x-\nobreak 4=(x-\nobreak 4)(x^2+\nobreak 4x+\nobreak 1)$$

2. Steg 2. Lös andragradsfaktorn med pq-formeln, $\displaystyle p=4$ och $\displaystyle q=1$.

   $$x=-\nobreak 2\pm\nobreak \sqrt{4-\nobreak 1}=-\nobreak 2\pm\nobreak \sqrt3$$

3. Steg 3. Fördjupning: för ekvationer på formen $\displaystyle x^3+px+q=0$ avgör uttrycket $\displaystyle \frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}$ antalet reella rötter. Ett negativt värde betyder tre reella rötter.

   $$\dfrac{(-\nobreak 4)^2}{4}+\nobreak \dfrac{(-\nobreak 15)^3}{27}=\nobreak 4-\nobreak 125=\nobreak -\nobreak 121<\nobreak 0$$

Svar: $\displaystyle x=4$, $\displaystyle x=-2+\sqrt3\approx-0{,}27$ eller $\displaystyle x=-2-\sqrt3\approx-3{,}73$.

Lösning

1. Steg 1. Koefficienterna 1, 2, $\displaystyle -1$, 2, 1 är symmetriska. $\displaystyle x=0$ är ingen rot, så vi kan dividera båda leden med $\displaystyle x^2$.

   $$x^2+\nobreak 2x-\nobreak 1+\nobreak \dfrac{2}{x}+\nobreak \dfrac{1}{x^2}=\nobreak 0$$

2. Steg 2. Inför $\displaystyle y=x+\frac1x$. Då är $\displaystyle y^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}$, alltså $\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$.

   $$y^2-\nobreak 2+\nobreak 2y-\nobreak 1=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ y^2+\nobreak 2y-\nobreak 3=\nobreak 0$$

3. Steg 3. Faktorisera: $\displaystyle (y-1)(y+3)=0$, så $\displaystyle y=1$ eller $\displaystyle y=-3$.

4. Steg 4. Fallet $\displaystyle x+\frac1x=-3$: multiplicera med $\displaystyle x$.

   $$x^2+\nobreak 3x+\nobreak 1=\nobreak 0\ \Rightarrow\ x=\dfrac{-\nobreak 3\pm\nobreak \sqrt5}{2}$$

5. Steg 5. Fallet $\displaystyle x+\frac1x=1$ ger $\displaystyle x^2-x+1=0$, som har negativ diskriminant och alltså inga reella lösningar. Med komplexa tal (Ma4) blir $\displaystyle x=\frac{1\pm i\sqrt3}{2}$.

Svar: De reella lösningarna är $\displaystyle x=\dfrac{-3\pm\sqrt5}{2}$, alltså ungefär $\displaystyle -0{,}38$ och $\displaystyle -2{,}62$.

Lösning

1. Steg 1. Identiteten $\displaystyle \cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ gör att insättningen $\displaystyle x=\cos\theta$ ger en enkel ekvation.

   $$\cos3\theta=\nobreak 1$$

2. Steg 2. Vinklar med cosinusvärdet 1 är multiplar av $\displaystyle 360^\circ$: $\displaystyle 3\theta=0^\circ,\ 360^\circ,\ 720^\circ$.

   $$\theta=\nobreak 0^\circ,\ \allowbreak 120^\circ,\ \allowbreak 240^\circ$$

3. Steg 3. Beräkna $\displaystyle x=\cos\theta$. Två av vinklarna ger samma värde.

   $$x=\nobreak 1\quad\text{eller}\quad x=-\nobreak \tfrac12$$

4. Steg 4. Kontroll med faktorisering: roten $\displaystyle -\frac12$ är dubbel.

   $$4x^3-\nobreak 3x-\nobreak 1=(x-\nobreak 1)(2x+\nobreak 1)^2$$

Svar: $\displaystyle x=1$ och den dubbla roten $\displaystyle x=-\frac12$.