Problemlösning med polynomekvationer

Lösning

1. Steg 1. Sök två tal med produkten 3 och summan $\displaystyle -4$: $\displaystyle -1$ och $\displaystyle -3$.

   $$(x-\nobreak 1)(x-\nobreak 3)=\nobreak 0$$

2. Steg 2. En produkt är 0 när minst en faktor är 0 (nollproduktmetoden).

   $$x=\nobreak 1\quad\text{eller}\quad x=\nobreak 3$$

Svar: $\displaystyle x=1$ eller $\displaystyle x=3$.

Lösning

1. Steg 1. Flytta konstanten: subtrahera 5 från båda leden.

   $$x^2+\nobreak 6x=\nobreak -\nobreak 5$$

2. Steg 2. Addera $\displaystyle \left(\frac62\right)^2=9$ till båda leden och skriv vänsterledet som en kvadrat.

   $$(x+\nobreak 3)^2=\nobreak 4$$

3. Steg 3. Dra roten ur. Glöm inte den negativa roten.

   $$x+\nobreak 3=\nobreak \pm\nobreak 2$$

Svar: $\displaystyle x=-1$ eller $\displaystyle x=-5$.

Lösning

1. Steg 1. Här är $\displaystyle p=-5$ och $\displaystyle q=6$, så $\displaystyle -\frac p2=\frac52$.

   $$x=\dfrac{5}{2}\pm\nobreak \sqrt{\dfrac{25}{4}-\nobreak \dfrac{24}{4}}=\dfrac{5}{2}\pm\nobreak \dfrac{1}{2}$$

Svar: $\displaystyle x=3$ eller $\displaystyle x=2$.

Lösning

1. Steg 1. Roten 1 ger faktorn $\displaystyle (x-1)$. Polynomdivision ger kvoten.

   $$x^3-\nobreak 6x^2+\nobreak 11x-\nobreak 6=(x-\nobreak 1)(x^2-\nobreak 5x+\nobreak 6)$$

2. Steg 2. Faktorisera kvoten (se metod 3).

   $$(x-\nobreak 1)(x-\nobreak 2)(x-\nobreak 3)=\nobreak 0$$

Svar: $\displaystyle x=1$, $\displaystyle x=2$ eller $\displaystyle x=3$.

Lösning

1. Steg 1. Låt $\displaystyle x$ vara kvadratens sida i cm. Botten blir $\displaystyle (30-2x)$ gånger $\displaystyle (40-2x)$ och höjden $\displaystyle x$. Alla mått ska vara positiva, så $\displaystyle 0<x<15$.

   $$V(x)=x(30-\nobreak 2x)(40-\nobreak 2x)=4x^3-\nobreak 140x^2+\nobreak 1200x$$

2. Steg 2. Volymen är störst där derivatan är 0 (derivata behandlas i kapitel 2).

   $$V'(x)=12x^2-\nobreak 280x+\nobreak 1200=\nobreak 0$$

3. Steg 3. Dela med 4 och använd lösningsformeln.

   $$3x^2-\nobreak 70x+\nobreak 300=\nobreak 0\ \Rightarrow\ x=\dfrac{70\pm\nobreak \sqrt{1300}}{6}$$

4. Steg 4. Det ger $\displaystyle x\approx5{,}66$ eller $\displaystyle x\approx17{,}68$. Bara det första värdet uppfyller $\displaystyle 0<x<15$. Volymen går mot 0 vid intervallets ändar, så värdet ger ett maximum.

   $$V(5{,}66)\approx\nobreak 3032\ \text{cm}^3$$

Svar: Kvadraterna ska ha sidan ungefär 5,7 cm. Volymen blir då ungefär $\displaystyle 3030\text{ cm}^3$.

Lösning

1. Steg 1. Bollen är på marken när höjden är 0.

   $$-\nobreak 4{,}9t^2+\nobreak 20t+\nobreak 1{,}5=\nobreak 0$$

2. Steg 2. Använd lösningsformeln med $\displaystyle a=-4{,}9$, $\displaystyle b=20$ och $\displaystyle c=1{,}5$. Beräkna först diskriminanten.

   $$D=20^2-\nobreak 4\cdot\nobreak (-\nobreak 4{,}9)\cdot\nobreak 1{,}5=400+\nobreak 29{,}4=\nobreak 429{,}4$$

3. Steg 3. Sätt in i lösningsformeln $\displaystyle t=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$.

   $$t=\dfrac{-\nobreak 20\pm\nobreak \sqrt{429{,}4}}{2\cdot\nobreak (-\nobreak 4{,}9)}=\dfrac{-\nobreak 20\pm\nobreak \sqrt{429{,}4}}{-\nobreak 9{,}8}$$

4. Steg 4. Det ger två lösningar.

   $$t\approx\nobreak -\nobreak 0{,}07\quad\text{eller}\quad t\approx\nobreak 4{,}16$$

5. Steg 5. Kastet börjar vid $\displaystyle t=0$, så en negativ tid saknar betydelse här.

Svar: Bollen träffar marken efter ungefär 4,2 sekunder.

Lösning

1. Steg 1. Grafen är en parabel som öppnar nedåt, eftersom koefficienten för $\displaystyle x^2$ är negativ. Största värdet finns i vertex, där symmetrilinjen ligger.

   $$x=-\nobreak \dfrac{b}{2a}=-\nobreak \dfrac{60}{2\cdot\nobreak (-\nobreak 0{,}01)}=\nobreak 3000$$

2. Steg 2. Samma svar fås med derivata: $\displaystyle P'(x)=-0{,}02x+60$ är 0 när $\displaystyle x=3000$. Beräkna vinsten där.

   $$P(3000)=-0{,}01\cdot\nobreak 3000^2+60\cdot\nobreak 3000-50\,000=\nobreak 40\,000$$

Svar: Störst vinst fås vid 3 000 sålda enheter. Vinsten blir då 40 000 kr.