Integralberäkning med primitiva funktioner

Med en primitiv funktion kan du beräkna en integral exakt, utan att räkna rektanglar. Integraler används för att räkna ut sådant som byggs upp över tid eller sträcka: tillryggalagd väg, utfört arbete och total mängd.

1. Primitiv funktion

$\displaystyle F$ är en primitiv funktion till $\displaystyle f$ om $\displaystyle F'(x)=f(x)$. Alla primitiva funktioner skiljer sig med en konstant $\displaystyle C$.

2. Regler

• $\displaystyle \displaystyle\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$, när $\displaystyle n\neq-1$
• $\displaystyle \displaystyle\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C$
• Konstanta faktorer följer med och summor tas term för term.

3. Beräkna en bestämd integral

1. Bestäm en primitiv funktion $\displaystyle F$. Konstanten behövs inte.
2. Skriv den inom hakparentes med gränserna.
3. Sätt in den övre gränsen, sätt in den undre och subtrahera.

4. Varför fungerar det?

Låt $\displaystyle A(x)$ vara arean under grafen från $\displaystyle a$ till $\displaystyle x$. Om $\displaystyle x$ ökar lite, med $\displaystyle h$, växer arean med ungefär en smal rektangel med höjden $\displaystyle f(x)$ och bredden $\displaystyle h$. Därför är $\displaystyle A'(x)=f(x)$, så arean är en primitiv funktion till $\displaystyle f$.

5. Fördjupning: metoder i senare kurser

• Variabelsubstitution: $\displaystyle \displaystyle\int\sin(2x)\cos(2x)\,dx=\frac{1}{4}\sin^2(2x)+C$.
• Partiell integration: $\displaystyle \displaystyle\int x\cos x\,dx=x\sin x+\cos x+C$.
• Trigonometri (Ma4): $\displaystyle \displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,dx=\big[-\cos x\big]_0^{\pi}=2$.

• Att räkna $\displaystyle F(a)-F(b)$ i stället för $\displaystyle F(b)-F(a)$.
• Att glömma sätta in den undre gränsen, särskilt när den inte är 0.
• Att tro att $\displaystyle e^0$ är 0. Det är 1.
• Att glömma enheten i tillämpade uppgifter.

1. Partialbråk

2. Generaliserade integraler

3. Volymer

När ett område roterar kring en axel bildas en rotationskropp. Dess volym kan beräknas med integraler, till exempel $\displaystyle V=\pi\displaystyle\int_a^b\big(f(x)\big)^2\,dx$ vid rotation kring x-axeln (Matematik 4).

Med primitiva funktioner blir integraler ett effektivt verktyg. Bestäm en primitiv funktion, sätt in gränserna och subtrahera. Tolka sedan svaret, till exempel som en area, en sträcka eller ett arbete.