Kapitel 3.3: Asymptoter | Matematik 3

Bakgrund

En asymptot är en rät linje som grafen kommer allt närmare, utan att nödvändigtvis nå den. Asymptoter beskriver hur en funktion beter sig nära punkter där den inte är definierad och när $\displaystyle x$ blir mycket stort. De är viktiga när du skissar grafer till rationella funktioner.

Teori

1. Tre slags asymptoter

Lodrät asymptot $\displaystyle x=a$ : funktionsvärdena växer obegränsat (positivt eller negativt) när $\displaystyle x$ närmar sig $\displaystyle a$ .
Vågrät asymptot $\displaystyle y=L$ : funktionsvärdena närmar sig $\displaystyle L$ när $\displaystyle x$ blir mycket stort eller mycket negativt.
Sned asymptot $\displaystyle y=kx+m$ , där $\displaystyle k\neq0$ : skillnaden mellan funktionen och linjen går mot 0 när $\displaystyle x$ blir stort.

2. Lodräta asymptoter

För en rationell funktion, alltså en kvot av två polynom: leta efter nollställen till nämnaren. Om täljaren inte också är 0 där finns en lodrät asymptot. Om en faktor kan förkortas bort blir det i stället ett hål i grafen.

\lim_{x\to\nobreak a}|f(x)|=\nobreak \infty

3. Vågräta asymptoter

\lim_{x\to\pm\nobreak \infty}f(x)=\nobreak L

För rationella funktioner räcker det att jämföra graderna, alltså den högsta exponenten, i täljare och nämnare:

Lägre grad i täljaren: asymptoten är $\displaystyle y=0$ .
Samma grad: asymptoten är kvoten av koefficienterna framför de högsta potenserna.
Högre grad i täljaren: ingen vågrät asymptot. Är graden en högre kan det finnas en sned asymptot.

4. Sneda asymptoter

Gör polynomdivision. Då skrivs funktionen som ett polynom plus en rest som går mot 0. Om polynomdelen är en rät linje är den asymptoten:

f(x)=kx+\nobreak m+\nobreak \dfrac{r}{q(x)},\qquad\allowbreak \dfrac{r}{q(x)}\to\nobreak 0

Asymptoter och derivata

Om derivatan går mot 0 när $\displaystyle x$ blir stort planar grafen ut, vilket kan tyda på en vågrät asymptot. Om derivatan går mot ett tal $\displaystyle k$ kan det finnas en sned asymptot med lutningen $\displaystyle k$ . Kontrollera alltid med gränsvärdet av själva funktionen.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Lodrät och vågrät asymptot

Uppgift: Bestäm asymptoterna till $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x-2}$ .

Exempel 2: Samma grad i täljare och nämnare

Uppgift: Bestäm asymptoterna till $\displaystyle f(x)=\dfrac{2x^2+3x+1}{x^2-4}$ .

Exempel 3: Sned asymptot

Uppgift: Bestäm asymptoterna till $\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+2x-1}{x-1}$ .

Exempel 4: Hål i stället för asymptot

Uppgift: Undersök $\displaystyle f(x)=\dfrac{x^3-4x}{x^2-4}$ nära $\displaystyle x=\pm2$ .

Fördjupning (Ma4): asymptot och derivata

Uppgift: Visa att $\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$ har den sneda asymptoten $\displaystyle y=x-1$ och jämför med derivatan.

Interaktiva funktioner

Flytta och skala en hyperbel

Funktionen är $\displaystyle g(x)=\dfrac{k}{x-a}$ .

Förskjutning: $\displaystyle a=2$

Skalfaktor: $\displaystyle k=1$

g(x)=\dfrac{1}{x-\nobreak 2}

Lodrät asymptot $\displaystyle x=2$ och vågrät asymptot $\displaystyle y=0$ . Eftersom k är positivt ligger grafen i övre högra och nedre vänstra delen kring asymptoternas skärningspunkt.

Hyperbeln och dess lodräta asymptot

Lodrät axel: y

−6−30236−6−5−4−3−2−10123456

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle g(x)=\dfrac{k}{x-a}$

Lodrät streckad hjälplinje: $\displaystyle x=2$ .

Grafen närmar sig den sneda asymptoten

Jämför $\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+2x-1}{x-1}$ med linjen $\displaystyle y=x+3$ .

x-värde: $\displaystyle x=5$

f(5)\approx\nobreak 8{,}5,\quad\allowbreak 5+\nobreak 3=\nobreak 8,\quad\allowbreak f(5)-\nobreak (5+\nobreak 3)=\dfrac{2}{4}\approx\nobreak 0{,}5

Skillnaden $\displaystyle \frac{2}{x-1}$ blir allt mindre när $\displaystyle x$ växer.

Vanliga misstag

Att bara undersöka stora positiva $\displaystyle x$ och glömma stora negativa.
Att tolka en faktor som kan förkortas bort som en lodrät asymptot. Då är det ett hål.
Att blanda ihop skärningen med y-axeln och en vågrät asymptot.
Att bara titta på derivatan utan att kontrollera gränsvärdet av funktionen.

Vanliga frågor

Tips för högre betyg

Viktigt att tänka på

Faktorisera täljare och nämnare först, så ser du både hål och asymptoter.
Gör polynomdivision när täljarens grad är minst lika hög som nämnarens.
Undersök båda hållen: stora positiva och stora negativa $\displaystyle x$ .
Fördjupning (Ma4): exponential- och logaritmfunktioner kan ha olika asymptoter åt vänster och höger, till exempel har $\displaystyle \frac{e^x}{x}$ asymptoten $\displaystyle y=0$ bara åt vänster.

Testa dig själv: Asymptoter1/3

Vad är en lodrät asymptot?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i integraler för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här